Esboce o gráfico da função y = f(x) dada implicitamente pela equação

d) x^2 + y^2 + 2y = 0, y >= -1

Passo 1

Antes de tudo, vamos completar o quadrado na parte em y para termos uma equação mais amistosa:

x 2 + y 2 + 2 y + 1 - 1 = 0

Assim os termos em y podem se juntar e formar um produto notável:

x 2 + y + 1 2 - 1 = 0

x 2 + y + 1 2 = 1

Agora vamos dar uma olhadinha pra cara dessa equação. Ela é do tipo:

x - x c 2 + y - y c 2 = R 2

Não é? E essa é a equação de uma circunferência na forma reduzida. Se você não se lembra, dá uma olhadinha na parte de circunferência da nossa plataforma =)

Aqui temos que o centro é dado por ( 0 , - 1 ) e o raio é R = 1 . Como queremos a parte y ≥ - 1 , queremos apenas a parte positiva da circunferência. Ok? Feita essa parte, vamos ao que interessa?

Passo 2

Primeiro vamos deixar y explicitamente em função de x . Como? Isolando y no lado esquerdo da equação x 2 + ( y + 1 ) 2 = 1 :

y + 1 2 = 1 - x 2

Tirando a raiz quadrada dos dois lados vamos ter:

y + 1 = 1 - x 2

Finalmente isolando y temos:

y = - 1 + 1 - x 2

Passo 3

Beleza! Como queremos o gráfico de y ≥ - 1 , então a parte que nos interessa é a parte positiva da raiz 1 - x 2 . É como se o gráfico do exercício 15 a tivesse criado perninhas e descido uma casa. Vamos ao esboço?

Ok? Vamos pra próxima?

Resposta

y = - 1 + 1 - x 2

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Dada f(t) = (|3 + t| - |t| - 3) / t , expresse f(t) sem as barras de valor absoluto, se t estiver no intervalo dado: (-∞, -3)
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