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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 21

21. Seja g t = f 3 t 2 ,   t 3 ,   e 2 t ; suponha ∂ f ∂ z 0 , 0,1 = 4

a) Expresse g ' t em termos das derivadas parciais de f .

b) Calcule g ' 0 .

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

g t = f 3 t 2 ,   t 3 ,   e 2 t

Pra facilitar nossa vida, vamos expressar f 3 t 2 ,   t 3 ,   e 2 t como f ( x , y , z ) . Para isso, faremos uma substituição.

x = 3 t 2

y = t 3

z = e 2 t

Como queremos expressão g ' ( t ) em termos das derivadas parciais, vamos usar uma expressão lá da teoria olha só:

d g d t = d x d t ∂ f ∂ x ( x , y , z ) + d y d t ∂ f ∂ y ( x , y , z ) + d z d t ∂ f ∂ z ( x , y , z )

Passo 2

f 3 t 2 ,   t 3 ,   e 2 t

Inicialmente, vamos calcular d x d t :

d d t 3 t 2 = 6 t

Agora, vamos calcular d y d t :

d d t t 3 = 3 t 2

Por fim, vamos ver como fica d z d t :

d d t e 2 t = 2 e 2 t

Passo 3

Voltando pra expressão do Passo 1:

d g d t = 6 t ∂ f ∂ x ( x , y , z ) + 3 t 2 ∂ f ∂ y ( x , y , z ) + 2 e 2 t ∂ f ∂ z ( x , y , z )

Portanto,

g ' t = 6 t ∂ f ∂ x ( x , y , z ) + 3 t 2 ∂ f ∂ y ( x , y , z ) + 2 e 2 t ∂ f ∂ z ( x , y , z )

Onde,

x = 3 t 2 ,   y = t 3   e   z = e 2 t

Passo 4

b) Agora vamos calcular g ' ( 0 ) :

g ' t = 6 t ∂ f ∂ x ( x , y , z ) + 3 t 2 ∂ f ∂ y ( x , y , z ) + 2 e 2 t ∂ f ∂ z ( x , y , z )

g ' 0 = 6 ( 0 ) ∂ f ∂ x ( x , y , z ) + 3 ( 0 ) 2 ∂ f ∂ y ( x , y , z ) + 2 e 2 ( 0 ) ∂ f ∂ z ( x , y , z )

g ' 0 = 2 ∂ f ∂ z ( x , y , z )

Quando t = 0 temos x = 0 , y = 0 e z = 1 . E como ele deu:

∂ f ∂ z 0,0 , 1 = 4

Esse é o valor de ∂ f ∂ z quando t = 0 . Então:

g ' 0 = 2 × 4 = 8

Resposta

a)

g ' t = 6 t ∂ f ∂ x ( x , y , z ) + 3 t 2 ∂ f ∂ y ( x , y , z ) + 2 e 2 t ∂ f ∂ z ( x , y , z )

Onde,

x = 3 t 2 ,   y = t 3   e   z = e 2 t

b) g ' 0 = 8

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