8. Esboce o mapa de contorno e o gráfico das seguintes funções:

d)

Antes de começar, vamos lembrar o que é mapa de contorno/curva de nível. A curva de nivel é a curva descrita quando igualamos a função a uma constante, isto é:

Agora vamos ver como essas curvas se comportam no plano cartesiano, mas antes vamos tratar essa função em dois casos:

Caso 1:

Neste caso, a função que estamos tratando é . Vamos identificar que tipo de curva de nível a função nos dá nesse domínio.

Para que a equação faça sentido, temos a condição de que .

Essa curva é uma circunferência de centro e de raio . Sabendo disso, temos que para cada , sua curva de nível é (no exemplo usamos :

Como as curvas de nível nos ajudam a saber como será o gráfico da função, vamos esboçá-las para alguns valores de (:

Desenhando cada circunferência em para todo possivel, obtemos o grafico da função, que é:

Caso 2:

Neste caso, a função que estamos tratando é . Vamos identificar que tipo de curva de nível a função nos dá nesse domínio.

Para que a equação faça sentido, temos a condição de que . Note que ao elevar ambos os termos ao quadrado, não perdemos nenhuma curva pois .

Essa curva é uma circunferência de centro e de raio . Sabendo disso, temos que para cada , sua curva de nível é (no exemplo usamos :

Como as curvas de nível nos ajudam a saber como será o gráfico da função, vamos esboçá-las para alguns valores de (:

Desenhando cada circunferência em para todo possível, obtemos o gráfico da função, que é (o cilindro em branco serve para auxiliar a visualização dos pontos que satisfazem

):

Juntando ambos os gráficos, temos: