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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 35

Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral iterada dada.

∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 y f x , y , z   d z d x d y

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem? Vamos nessa!!!

Precisamos escrever outras cinco integrais iteradas que sejam iguais a integral:

∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 y f x , y , z   d z d x d y

Vamos começar a analisar e montar uma estratégia, ok!?

Vamos lembrar que integral iterada, é apenas o nome dado a uma integral que possui mais de uma variável.

Pelos limites da integral tripla, nós temos as seguintes variações:

0 ≤ y ≤ 1

y ≤ x ≤ 1

0 ≤ z ≤ y

Uma estratégia para escrevermos as outras integrais triplas, pode ser a seguinte.

Primeiro vamos reescrever cada intervalo como uma igualdade, para facilitar a visualização das alterações possíveis.

Avaliando em y temos que:

y = 0

y = 1

Agora em x vamos ter:

x = y

x = 1

Já em z , temos:

z = 0

z = y

Agora nosso objetivo é ir manipulando as expressões, substituindo uma dentro da outro e mudar a ordem de escrita da expressão.

Vamos ter que escrever as seguintes integrais:

∭ f x , y , z   d z d x d y = ∭ f x , y , z   d z d y d x

∭ f x , y , z   d x d y d z = ∭ f x , y , z   d x d z d y

∭ f x , y , z   d y d z d x = ∭ f x , y , z   d y d x d z

Observe que temos duas possibilidades de escrita para cada integral tripla que começa com d z , d y ou d x .

E gente sabe também, que sempre começamos integrando os intervalos com funções, logo concluímos que o ultimo intervalo de integração tem somente números.

Sabendo disso, vamos começar as manipulações!!!

Partiu!!!

Passo 2

Vamos começar determinando as seguintes integrais:

∭ f x , y , z   d z d x d y = ∭ f x , y , z   d z d y d x

A integral na ordem d z d x d y já sabemos, pois foi dada no enunciado:

∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 y f x , y , z   d z d x d y

Agora vamos determinar a integral de ordem d z d y d x . Ou seja, o intervalo de d z vai se manter.

Sabemos que a variação em y:

0 ≤ y ≤ 1

Logo, temos que:

y = 0

y = 1

Também sabemos que a variação em x : y ≤ x ≤ 1

Assim, temos que:

x = y

x = 1

Se substituirmos y = 0 , vamos ter a variação em x como:

0 ≤ x ≤ 1

Como x = 1 e y = 1 , podemos concluir que a variação de y pode ser escrita como:

0 ≤ y ≤ x

Sabemos que o intervalo de z é:

0 ≤ z ≤ y

Assim, temos que:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ x

0 ≤ z ≤ y

Podemos montar a integral agora. Vai ficar:

∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 y f x , y , z   d z d y d x

Logo, temos que:

∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 y f x , y , z   d z d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 y f x , y , z   d z d y d x

Passo 3

Agora vamos focar nessa ordem de integração:

∭ f x , y , z   d x d y d z = ∭ f x , y , z   d x d z d y

Vamos começar determinado as integrais na ordem d x d y d z .

Vamos manter a ordem de integração inicial em d x . Que é:

y ≤ x ≤ 1

Sabemos que o intervalo de y é:

0 ≤ y ≤ 1

Logo, temos que:

y = 0

y = 1

Do intervalo em z , temos que:

0 ≤ z ≤ y

Logo, concluímos:

z = 0

z = y

Substituindo y = 1 no intervalo em z, vamos ter:

0 ≤ z ≤ 1

Sabemos que y = 0 e z = 0 , logo concluímos que o intervalo de y:

z ≤ y ≤ 1

Logo, temos os seguintes intervalos para d x d y d z :

y ≤ x ≤ 1

z ≤ y ≤ 1

0 ≤ z ≤ 1

Montando a integral vamos ter:

∫ 0 1 ∫ z 1 ∫ y 1 f x , y , z   d x d y d z

Passo 4

Continuando, vamos determinar agora a ordem d x d z d y .

Vamos manter a ordem de integração em d x :

y ≤ x ≤ 1

Sabemos que o intervalo de y é:

0 ≤ y ≤ 1

Do intervalo em z , temos que:

0 ≤ z ≤ y

Logo, concluímos que nosso intervalo é:

y ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ z ≤ y

Substituindo na integral temos, que a ordem d x d z d y :

∫ 0 1 ∫ 0 y ∫ y 1 f x , y , z   d x d z d y

Logo, temos que:

∫ 0 1 ∫ z 1 ∫ y 1 f x , y , z   d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 y ∫ y 1 f x , y , z   d x d z d y

Passo 5

Por fim, nosso objetivo agora, é determinar as seguintes ordens de integração:

∭ f x , y , z   d y d z d x = ∭ f x , y , z   d y d x d z

Vamos começar determinando d y d z d x .

Sabemos que a variação em y:

0 ≤ y ≤ 1

Logo, temos que:

y = 0

y = 1

Também sabemos que a variação em x : y ≤ x ≤ 1

Assim, temos que:

x = y

x = 1

Sabemos que o intervalo de z é:

0 ≤ z ≤ y

Logo, temos:

z = 0

z = y

Se substituirmos y = 0 , vamos ter a variação em x como:

0 ≤ x ≤ 1

Como x = y , podemos concluir que a variação de z pode ser escrita como:

0 ≤ z ≤ x

Sendo z = 0 e   y = 0 ,e também que x = 1 e y = 1 . Podemos reescrever o intervalo de y como:

z ≤ y ≤ x

Assim, temos que:

0 ≤ x ≤ 1

z ≤ y ≤ x

0 ≤ z ≤ x

Escrevendo a integral em d y d z d x , vamos ter:

∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ z x f x , y , z   d y d z d x

Passo 6

Agora restou determinar a ordem de integração d y d x d z .

Vamos manter fixo a ordem em d y . Logo temos:

z ≤ y ≤ x

Também sabemos que a variação em x : y ≤ x ≤ 1

Assim, temos que:

x = y

x = 1

Sabemos que o intervalo de z é:

0 ≤ z ≤ y

Logo, temos:

z = 0

z = y

Sabendo que z = y , logo substituindo no intervalo de x vamos ter:

z ≤ x ≤ 1

Como x = 1 e x = y , podemos concluir que:

y = 1

Logo o intervalo de z que é:

0 ≤ z ≤ y

Pode ser reescrito como:

0 ≤ z ≤ 1

Assim, temos que:

z ≤ x ≤ 1

z ≤ y ≤ x

0 ≤ z ≤ 1

Escrevendo a integral referente a ordem d y d x d z , vamos ter:

∫ 0 1 ∫ z 1 ∫ z x f x , y , z   d y d x d z

Logo, temos que:

∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ z x f x , y , z   d y d z d x = ∫ 0 1 ∫ z 1 ∫ z x f x , y , z   d y d x d z

Ufaaa, concluímos pessoal!!! Deu trabalho né, mas não tem o que fazer, esse processo envolve muita manipulação entre as equações.

Resposta

∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 y f x , y , z   d z d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 y f x , y , z   d z d y d x

∫ 0 1 ∫ z 1 ∫ z x f x , y , z   d y d x d z = ∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ z x f x , y , z   d y d z d x

∫ 0 1 ∫ z 1 ∫ y 1 f x , y , z   d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 y ∫ y 1 f x , y , z   d x d z d y

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