Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 30
Expresse a integral como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
Passo 1
Vamos lá meu amigo. Precisamos construir a integral tripla da função dada em modos diferentes. Ora, a melhor forma de fazer isso é os valores de cada variável e escrever os intervalos de integração relacionando as diversas variáveis entre si. Para isso vamos utilizar a equação dada e relacionar ao intervalo já conhecido, isolando as outras variáveis.Veja, podemos escrever das seguintes formas:
Neste caso específico, não importa como vamos representar o espaço, a variação de é sempre . E podemos colocar em qualquer posição na fila de integração, analisando as outras variáveis, vamos manipular a equação
Isolando temos
E quando
Se isolarmos temos
Quando
Passo 2
Vamos montar então uma região do tipo:
Para isso, precisamos deixar como a última variável, escrever em função de e coloca-lo na integral mais “interna”.
Escrevendo agora com como a variável mais interna:
Podemos agora repetir o procedimento, porém collcoando como a variável mais externa e colocando no meio da integral interada:
Sendo assim:
Invertendo e temos:
Por último, podemos colcoar como a variável mais “interna” e inverter e de posição.