Escreva, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inércia em relação ao eixo z .

O hemisfério x² + y² + z² ≤ 1, z ≥ 0 ; ρ(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

E ai, pessoal!

Nessa questão a gente precisa montar várias integrais, mas não calcular (que bom senão elas iam dar um trabalhinho 😂)

Bom, primeiro vamos relembrar as fórmulas dessas coisas que ele tá pedindo...

A gente tem a região E , que é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , z ≥ 0 , e a função densidade ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Com isso, a massa é calculada assim:

m = ∭ E ρ x , y , z d V

As coordenadas x - , y - , z - do centro de massa são:

x - = 1 m ∭ E x ∙ ρ x , y , z d V

y - = 1 m ∭ E y ∙ ρ x , y , z d V

z - = 1 m ∭ E z ∙ ρ x , y , z d V

E o momento de inércia em relação ao eixo z :

I z = ∭ E x 2 + y 2 ∙ ρ x , y , z d V

A gente vai começar olhando pro nosso sólido E , pra definir os limites de integração.

Com isso, vamos transformar essas integrais em integrais iteradas e pronto!

Passo 2

Nosso sólido é um hemisfério...

Tá, mas o que é isso??

É a metade de uma esfera! Nesse caso a esfera é de raio 1 centrada na origem:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

E esse hemisfério é a parte que z ≥ 0 :

O sólido E é limitado por cima pela superfície da esfera (ou seja, o z do sólido vai ser menor que o z da esfera)

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Isolando z :

z 2 = 1 - x 2 - y 2

Como estamos em z ≥ 0 :

z = 1 - x 2 - y 2

Então achamos os limites de z do sólido:

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

Passo 3

Para achar os limites de x e y , vamos olhar a projeção de E no plano x y .

Ela é limitada por uma circunferência que é a interseção de

x 2 + y 2 + z 2 = 1

z = 0

Ou seja, x 2 + y 2 = 1 :

Se isolarmos o y nessa expressão, vamos ter duas curvas:

y 2 = 1 - x 2 ⇒ y = 1 - x 2 y = - 1 - x 2

A primeira é a parte de cima da circunferência e a segunda é a parte de baixo:

Como y está entre essas duas curvas:

- 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2

E o x varia de - 1 até 1 , então já temos todos os nossos limites:

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

- 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2

- 1 ≤ x ≤ 1

Percebe que existe uma ordem certa pra integrarmos com esses limites.

Como z depende das outras duas variáveis, vai ser o primeiro a ser integrado.

Depois y , que depende de x .

Por último, x , já que seus limites são constantes.

Então, para uma função f x , y , z qualquer:

∭ E f x , y , z d V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 f x , y , z d z d y d x

Agora vamos aplicar essa lógica nas nossas fórmulas!!

Passo 4

(a)

Para a massa, a fórmula é:

m = ∭ E ρ x , y , z d V = ∭ E x 2 + y 2 + z 2 d V

Então,

m = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

Passo 5

(b)

Para o centro de massa x - , y - , z - , calculamos:

x - = 1 m ∭ E x x 2 + y 2 + z 2 d V

y - = 1 m ∭ E y x 2 + y 2 + z 2 d V

z - = 1 m ∭ E z x 2 + y 2 + z 2 d V

Então:

x - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

y - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 y x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

z - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

Passo 6

(c)

Por último, o momento de inércia:

I z = ∭ E x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 d V

Fica:

I z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

Resposta

(a)

m = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

(b) ( x - , y - , z - ) onde:

x - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

y - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 y x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

z - = 1 m ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

(c)

I z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

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