Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 2
é contínua em ? Justifique.
Passo 1
O exercício forneceu uma função de duas variáveis
e quer saber se ela é contínua em . Para verificar isso, temos que lembrar que uma função é contínua em um ponto se o valor do limite for igual ao valor da função nesse ponto.
Já sabemos que
Resta ver quanto vale o limite quando .
Passo 2
Quando tomamos o limite, estamos considerados pontos próximo de mas diferentes deles. Desta forma, como , a expressão que usamos para é
Esse é uma daqueles limites clássicos do teorema do confronto:
Isso acontece pois . Dividindo todos os membros por :
Agora multiplicamos todos os termos por :
Agora vamos tomar o limite de quando
Assim, temos que
Pelo teorema do confronto, note que o limite que queremos está “ensanduichado” por dois zeros. Assim, o limite deve ser nulo:
Com isso vemos que
Desta forma, provamos que é contínua em .
Resposta
Sim, a função é contínua em .