1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f(x, y) = x^2 + y^3 + xy - 3x - 4y + 5. Passo 1 Primeiro, veremos quais são os pontos críticos. ∂ f ∂ x = 2 x + y - 3 = 0 ∂ f ∂ y = 3 y 2 + x - 4 = 0 ∂ f ∂ x = y = - 2 x + 3 ∂ f ∂ y = y = ± - x 3 + 4 3 Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro, - 2 x + 3 = ± - x 3 + 4 3 - 2 x + 3 = + - x 3 + 4 3 - 2 x + 3 = - - x 3 + 4 3 - 2 x + 3 2 = - x 3 + 4 3 - 2 x + 3 2 = x 3 - 4 3 4 x 2 - 12 x + 9 = - x 3 + 4 3 4 x 2 - 12 x + 9 = x 3 - 4 3 4 x 2 - 35 3 x + 23 3 = 0 4 x 2 - 37 3 x + 31 3 = 0 x ' ≅ 1 x " ≅ 1,92 Fórmula quadrática (Báskara), - b ± b 2 - 4 a c 2 a 35 3 ± 1225 9 - 368 3 8 = > x 2 ≅ 0,99 x 1 ≅ 35 3 + 3,7 8 ≅ 1,92 37 3 ± 1369 9 - 496 3 8 = > x 4 ≅ c o m p l e x o x 3 ≅ c o m p l e x o y = - 2 x + 3 y = - 2 + 3 = 1 y = - 2 1,92 + 3 = - 0,84 1 , 1 , ( 1,92 ; - 0,84 ) s ã o p o n t o s c r í t i c o s ã í Passo 2 Hessiano de f, H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y , s e H x , y = 0 , n a d a s e p o d e a f i r m a r . s e H x , y < 0 , p o n t o d e s e l a . s e H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , m í n i m o l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 , m á x i m o l o c a l í á Calculando, f x , y = x 2 + y 3 + x y - 3 x - 4 y + 5 . ∂ f ∂ x = 2 x + y - 3 ∂ f ∂ y = 3 y 2 + x - 4 ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 1 ∂ 2 f ∂ x 2 = 2 ∂ 2 f ∂ y 2 = 6 y H x , y = 2 1 1 6 y = 12 y - 1 = 11 < 0 , s e y = 1 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , p o n t o d e s e l a 9,08 > 0 , s e y = 0,84 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , p o n t o m í n i m o . í Resposta 1,1 é é mínimo local. (1,92;-0,84) é ponto de sela MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosUtilize as curvas de nível da figura para predizer a localização dos pontos críticos de f e se f tem um ponto de sela ou um máximo ou mínimo local em cada um desses pontos. Explique seu raciocínio. EmSuponha que (0,2) seja um ponto crítico de uma função g com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre g ?(a) g_{xx}(0,2) = -1, g_{xy}(0,2) = 6, g_{yy}(0,2) = 1 (b) Utilize uma ferramenta gráfica como no Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifiquSuponha que ( 1,1 ) seja um ponto crítico de uma função g com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre f ?(a) f x x ( 1,1 ) = 4 ,f x y ( 1,1 ) = 1 ,f y y ( 1,1 ) =(Capítulo 14.7 – Exercício 10) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.f(x, y) = xy(1 - x - y)Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre Funções de Várias VariáveisLista de exercícios de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 VariáveisVer exercício 8.3 - 2 cVer exercício 16.3 - 1h