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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1b

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 2 + y 3 + x y - 3 x - 4 y + 5 .

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   2 x + y - 3 = 0                                         ∂ f ∂ y = 3 y 2 + x - 4 = 0  

∂ f ∂ x =   y = - 2 x + 3                                         ∂ f ∂ y = y = ± - x 3 + 4 3

Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro,

- 2 x + 3 = ± - x 3 + 4 3

- 2 x + 3 = + - x 3 + 4 3                             - 2 x + 3 = - - x 3 + 4 3  

- 2 x + 3 2 = - x 3 + 4 3                             - 2 x + 3 2 = x 3 - 4 3

4 x 2 - 12 x + 9 = - x 3 + 4 3                             4 x 2 - 12 x + 9 = x 3 - 4 3

4 x 2 - 35 3 x + 23 3 = 0                             4 x 2 - 37 3 x + 31 3 = 0

x ' ≅   1       x " ≅ 1,92                      

Fórmula quadrática (Báskara),

- b ± b 2 - 4 a c 2 a

35 3 ± 1225 9 - 368 3 8 = > x 2   ≅ 0,99 x 1 ≅ 35 3 + 3,7 8 ≅ 1,92                       37 3 ± 1369 9 - 496 3 8 = > x 4 ≅ c o m p l e x o x 3 ≅ c o m p l e x o  

  y = - 2 x + 3  

  y = - 2 + 3 = 1

y = - 2 1,92 + 3 = - 0,84

1 , 1 , ( 1,92 ; - 0,84 )   s ã o   p o n t o s   c r í t i c o s

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x 2 + y 3 + x y - 3 x - 4 y + 5 .

∂ f ∂ x =   2 x + y - 3                                           ∂ f ∂ y = 3 y 2 + x - 4                                           ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 1        

∂ 2 f ∂ x 2 = 2                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = 6 y

H x , y = 2 1 1 6 y = 12 y - 1 =     11 < 0 ,   s e   y = 1 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   p o n t o   d e   s e l a 9,08 > 0 ,   s e   y = 0,84 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   p o n t o   m í n i m o .

Resposta

1,1   é     mínimo local.

(1,92;-0,84) é ponto de sela

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