Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 2e

Estude o sinal da expressão.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente estudar o sinal da expressão, isso quer dizer que ele quer saber onde essa função é positiva, onde ela é negativa e quais são os zeros (as raízes) da função.

Então, vamos analisar três situações, quando a expressão toda é maior que zero, quando é menor que zero e quando é igual a zero. Pra isso, vamos verificar o sinal do numerador e do denominador separadamente, para que o resultado satisfaça a expressão que desejamos, que no caso são:

Para maior que zero:

Para menor que zero:

E para igual a zero:

Passo 2

Para temos o seguinte esquema:

Repare que é uma raiz de , então a expressão assume valores negativos quando (antes da raiz) e assume valores positivos quando (depois da raiz).

Agora para o denominador, , temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando e assume valores positivos quando .

Beleza, mas o que isso quer dizer? Nossa primeira condição é que , ou seja, o quociente seja positivo. Então, com base nos sinais que vimos nos termos do numerador e denominador, vamos construir nosso quadro de sinais:

Repare que a nossa função é positiva para e para , ou seja, no intervalo:

Passo 3

A mesma análise que fizemos no passo , serve para verificar o que acontece quando a nossa expressão geral é menor do que zero (negativa). Então, vamos olhar de novo para o quadro de sinais que construímos: