∭ W d x d y d z z 2 ,   o n d e   W   é   o   s ó l i d o   l i m i t a d o   p e l a s   s u p e r f í c i e s   z = x 2 + y 2 ,   z = 1 - x 2 - y 2   e   z = 4 - x 2 - y 2 .

Passo 1

Lá vamos nos aventurar em mais uma integral!!

Cara, vamos fazer um esboço dessa região pra gente ver o que ta acontecendo.

A nossa região W nessa questão é a parte de dentro do cone que engloba a esfera menor e a esfera maior. Observe que a gente ta pegando só a parte positiva do plano.

Passo 2

Beleza, agora a gente já conhece a região em que vamos integrar. Vamos usar nessa questão uma mudança de coordenadas esféricas, daí:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

E seu jacobiano sendo dado por |   J   | = ρ 2 sen ⁡ ϕ .

Em ρ , teremos que sua variação será da esfera menor para a esfera maior, assim:

x 2 + y 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 + z 2 = 4

ρ 2 = 1 ρ 2 = 4

ρ = 1 ρ = 2

Ou seja, 1 ≤ ρ ≤ 2 .

Nossa região está em torno de todo o eixo y, ou seja, rotacionou o plano todo, daí 0 ≤ θ ≤ 2 π .

O cone é um cone que parte da origem, ele pode ser obtido através da rotação da reta z = y , ou seja, corta o quadrante no meio, olha só:

Assim, teremos que nossa variação em ϕ será de 0 ≤ ϕ ≤ π / 4 .

Passo 3

Agora que temos os intervalos de integração, podemos partir pra parte que resolvemos a integral, daí:

∭ W d x d y d z z 2 = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 1 ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ ⋅ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ

Aqui, vamos aplicar uma substituição simples, chamando u = cos ⁡ ϕ , daí:

∫ 0 2 π 2 2 - 1   d θ = 4 π 2 - 2 π

Resposta

Assim, a resposta da integral será 4 π 2 - 2 π .

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