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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.11 - Ex. 4b

∭_W^() (d x d y d z)/(z^2) , o n d e W é o s ó l i d o l i m i t a d o p e l a s s u p e r f í c i e s z = sqrt(x^2 + y^2) , z = sqrt(1 - x^2 - y^2) e z = sqrt(4 - x^2 - y^2) .

Passo 1

Lá vamos nos aventurar em mais uma integral!!

Cara, vamos fazer um esboço dessa região pra gente ver o que ta acontecendo.

A nossa região W nessa questão é a parte de dentro do cone que engloba a esfera menor e a esfera maior. Observe que a gente ta pegando só a parte positiva do plano.

Passo 2

Beleza, agora a gente já conhece a região em que vamos integrar. Vamos usar nessa questão uma mudança de coordenadas esféricas, daí:

{[[x = rho sen varphi cos theta],[y = rho sen varphi sen theta],[z = rho cos varphi]])

E seu jacobiano sendo dado por | J | = rho^2 sen varphi .

Em rho , teremos que sua variação será da esfera menor para a esfera maior, assim:

x^2 + y^2 + z^2 = 1 x^2 + y^2 + z^2 = 4

rho^2 = 1 rho^2 = 4

rho = 1 rho = 2

Ou seja, 1 <= rho <= 2 .

Nossa região está em torno de todo o eixo y, ou seja, rotacionou o plano todo, daí 0 <= theta <= 2 pi .

O cone é um cone que parte da origem, ele pode ser obtido através da rotação da reta z = y , ou seja, corta o quadrante no meio, olha só:

Assim, teremos que nossa variação em varphi será de 0 <= varphi <= pi // 4 .

Passo 3

Agora que temos os intervalos de integração, podemos partir pra parte que resolvemos a integral, daí:

∭_W^() (d x d y d z)/(z^2) = int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) int_1^2 (1)/(rho^2 cos^2 varphi) * rho^2 sen varphi d rho d varphi d theta = int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) int_1^2 (sen varphi)/(cos^2 varphi) d rho d varphi d theta = int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(4)) (sen varphi)/(cos^2 varphi) d varphi d theta

Aqui, vamos aplicar uma substituição simples, chamando u = cos varphi , daí:

int_0^(2 pi) (2)/(sqrt(2)) - 1 d theta = (4 pi)/(sqrt(2)) - 2 pi

Resposta

Assim, a resposta da integral será (4 pi)/(sqrt(2)) - 2 pi .

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