f (x) = {[[2 x s e x <= 1],[1 s e x > 1]]) é contínua em 1 ? Justifique.

Passo 1

A definição de continuidade de uma função, nos diz que para todo ϵ , um número positivo, existem delta , também positivo de modo que para um x qualquer do domínio, a função é contínua em p se:

|x - p| < delta => |f (x) - f (p)| < ϵ

Substituindo os valores na segunda inequação, temos:

|f (x) - f (p)| < ϵ

|f (x) - f (1)| < ϵ

|2 x - (2)| < ϵ

|2 x - 2| < ϵ

2 |x - 1| < ϵ

|x - 1| < (ϵ)/(2)

Passo 2

Tomando, delta = (ϵ)/(2) , f seria contínua em 1 se

|x - 1| < delta => |f (x) - f (1)| < ϵ

|x - 1| < (ϵ)/(2) => |f (x) - f (1)| < ϵ

Mas para x > 1 , f (x) = 1 , então:

|x - 1| < delta

x - 1 < delta

- 1 < delta - x

E

|f (x) - f (1)| < ϵ

|1 - 2| < ϵ

|- 1| < ϵ

ϵ > 1

- ϵ < - 1

Passo 3

Assim, para - 1 < delta - x e - ϵ < - 1

- ϵ < - 1 < delta - x

- ϵ < delta - x

x < delta + ϵ

E se x > 1

delta + ϵ > x > 1

delta + ϵ > 1

Tomando, delta = (ϵ)/(2) ,:

(ϵ)/(2) + ϵ > 1

(3 ϵ)/(2) > 1

ϵ > (2)/(3)

Portanto, falar que |x - 1| < delta => |f (x) - f (1)| < ϵ quando ϵ > 0 não está correto pois para qualquer ϵ no intervalo (0 , (2)/(3)) não existe delta que torne essa afirmação verdadeira.

Logo, f não é contínua em 1 .

Resposta

f não é contínua em 1 .

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