Fala, pessoal! Tudo na paz?

A questão pede para achar as integrais iteradas, para as duas ordens de integração. Depois, vamos precisar entender qual das duas ordens torna nosso cálculo de integral mais fácil e porquê. A integral que vamos precisar calcular é:

Para encontrar os limites de integração para cada variável ( e ) vamos ter que plotar a região e entendermos quais os limites de integração vamos precisar pegar, então vamos começar plotando:

Podemos integrar uma região como uma região do tipo I ou II:

• Regiões do Tipo I: são regiões entre o gráfico de duas funções contínuas de , limitados entre dois valores fixos de no eixo , e .

As duas funções devem ser contínuas e uma deve ser menor que a outra, ou seja, estar abaixo da outra no eixo , assim a região fica confinada entre e .

• Regiões do Tipo II: são regiões entre o gráfico de duas funções contínuas de , limitados entre dois valores fixos de no eixo , e .

As duas funções devem ser contínuas e uma deve ser menor que a outra, ou seja, estar antes da outra no eixo , assim a região fica confinada entre e .

Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro vamos entender como é nossa região . Como é limitado pelas retas , e , vamos plotar estas retas para ver como fica a região :



Nosso objetivo é expressar como uma região do tipo e também do tipo e em seguida analisar qual a integral dupla que será mais fácil de resolver.

Passo 3

Para a região como do tipo , temos:



Podemos definir a região dessa forma para o Tipo I:

Assim, a integral dupla do tipo I, seria:

Passo 4

Para a região como do tipo , temos:



Podemos definir a região dessa forma para o Tipo II:

Assim, a integral dupla do tipo I, seria:

Passo 5

Agora podemos comparar as integrais duplas:

• Tipo I:
• Tipo II:

Olhando, vemos que será mais fácil resolver o tipo II, pois usando esse tipo vamos começar calculando a integral de em relação a =, então tratamos como constante. O tipo I é mais difícil porque teríamos duas funções em função de e não daria para tratar nenhuma como constante.