∫ 0 4 ∫ 0 y - x y 2 d x d y

Passo 1

Fala turminha, tudo na paz? Bora resolver essa!

Vamos entender o enunciado. Ele nos forneceu uma integral dupla com limites de integração e precisamos determinar o valor dessa integral.

∫ 0 4 ∫ 0 y - x y 2 d x d y

E agora? Vamos pensar juntos!?

Primeiro é importante lembrar, que sempre começamos a integrar de dentro para fora. Como assim?

Repare na expressão, e perceba que precisamos primeiro integrar em d x ! Você sabe porquê?

Nessas situações somos obrigados a integrar em d x primeiro, pois repare que os intervalos de x estão em função de y .

Lembre-se, a gente só pode inverter a ordem de integração, ou seja, fazer d y d x quando ambos os limites de integração são numerais. Ou seja, não pode haver uma função onde uma variável está escrita em relação a outra.

Com esse bizu, vamos começar a integrar!? Partiu galera!

Passo 2

Temo a expressão:

∫ 0 4 ∫ 0 y - x y 2 d x d y

Vamos começar integrando em relação a d x . Observe que nesse primeiro momento y é constante:

- ∫ 0 4 y 2 ∫ 0 y x d x d y

Integrando, temos:

- ∫ 0 4 y 2 x 2 2 0 y d y

Agora, vamos aplicar os limites de integração

- ∫ 0 4 y 2 ( y ) 2 2 d y

- ∫ 0 4 y 2 y 2 d y

Logo, ficamos com a integral:

- ∫ 0 4 y 3 2 d y

Passo 3

Agora, temos uma integral simples em d y

- ∫ 0 4 y 3 2 d y

Integrando, ficamos com:

- y 4 8 0 4 = - 32

Aplicando os limites de integração,

- ( 4 ) 4 8 = - 32

Logo, a integral dupla é igual a:

∫ 0 4 ∫ 0 y - x y 2 d x d y = - 32

Resposta

∫ 0 4 ∫ 0 y - x y 2 d x d y = - 32

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