∫ 0 4 ∫ 0 y - x y 2 d x d y

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 1

Passo 1

Fala turminha, tudo na paz? Bora resolver essa!

Vamos entender o enunciado. Ele nos forneceu uma integral dupla com limites de integração e precisamos determinar o valor dessa integral.

E agora? Vamos pensar juntos!?

Primeiro é importante lembrar, que sempre começamos a integrar de dentro para fora. Como assim?

Repare na expressão, e perceba que precisamos primeiro integrar em ! Você sabe porquê?

Nessas situações somos obrigados a integrar em primeiro, pois repare que os intervalos de estão em função de .

Lembre-se, a gente só pode inverter a ordem de integração, ou seja, fazer quando ambos os limites de integração são numerais. Ou seja, não pode haver uma função onde uma variável está escrita em relação a outra.

Com esse bizu, vamos começar a integrar!? Partiu galera!

Passo 2

Temo a expressão:

Vamos começar integrando em relação a . Observe que nesse primeiro momento y é constante:

Integrando, temos:

Agora, vamos aplicar os limites de integração

Logo, ficamos com a integral:

Passo 3

Agora, temos uma integral simples em

Integrando, ficamos com:

Aplicando os limites de integração,

Logo, a integral dupla é igual a:

Resposta

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