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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 66

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla

∬ D 2 + x 2 y 3 + y 2 sen ⁡ x d A

D = x , y |   x ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Este tipo de questão é interessante pois nos cobra o uso de propriedades (quando falamos de simetria estamos pensando na paridade de funções) ou na comparação do sólido com o volume de uma figura.

Vamos começar por entender a nossa região D. O seu esboço é:

Passo 2

Agora, vamos analisar a simetria do problema. Como temos simetria em relação tanto ao eixo x quanto ao eixo y , funções ímpares integradas em intervalo simétrico é igual a 0. Como x 2 y 3 e y 2 sen ⁡ x são ambas funções ímpares, pois satisfazem f x = - f - x , o seu resultado é 0.

Desta forma, temos:

∬ D 2 + x 2 y 3 + y 2 sen ⁡ x d A = 2 ∬ D d A = 2 ⋅ A ( D )

Precisamos então calcular a área da nossa região. Como ela é composta de dois triângulos de base 2 e altura 1, então:

A D = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 2 = 2

Portanto,

∬ D 2 + x 2 y 3 + y 2 sen ⁡ x d A = 2 ⋅ 2 = 4

Resposta

∬ D 2 + x 2 y 3 + y 2 sen ⁡ x d A = 4

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