Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla
.
Passo 1
Este tipo de questão é interessante pois nos cobra o uso de propriedades (quando falamos de simetria estamos pensando na paridade de funções) ou na comparação do sólido com o volume de uma figura.
Vamos começar por entender a nossa região D. O seu esboço é:
Passo 2
Agora, vamos analisar a simetria do problema. Como temos simetria em relação tanto ao eixo quanto ao eixo , funções ímpares integradas em intervalo simétrico é igual a 0. Como e são ambas funções ímpares, pois satisfazem , o seu resultado é 0.
Desta forma, temos:
Precisamos então calcular a área da nossa região. Como ela é composta de dois triângulos de base 2 e altura 1, então:
Portanto,