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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 29

29. Seja f (x , y) = {[[(5 x y^2)/(x^2 + y^2)],[0]]) (s e ( x , y ) != ( 0,0 ))/(s e (x , y) = ( 0,0 )) calcular f (1,2) - (del f)/(del x) (1,2) + (del f)/(del y) (1,2) - (del f)/(del x) ( 0,0 ) .

Passo 1

Nesse caso iremos utilizar a regra do quociente.

(del f)/(del x) = ((x^2 + y^2) 5 y^2 - 5 x y^2 (2 x))/((x^2 + y^2)^2)

(del f)/(del x) ( 1,2 ) = underset(Delta x -> 0)(l i m) (5.5 . 4 - 10.4)/((5)^2)

= (12)/(5)

(del f)/(del y) = ((x^2 + y^2) 10 x y - 5 x y^2 (2 y))/((x^2 + y^2)^2)

(del f)/(del y) ( 1,2 ) = underset(Delta x -> 0)(l i m) (5.10.1 . 2 - 5.1 . 4.2 . 2)/((5)^2)

= (4)/(5)

Passo 2

(del f)/(del x) (0,0) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (0 + Delta x , 0) - f (0,0))/(Delta x)

= underset(Delta x -> 0)(l i m) (((5 Delta x * 0)/((Delta x)^2 + 0^2) - 0)/(Delta x)) = 0

f (1,2) = (5.1 . 4)/(1 + 4) = (20)/(5) = 4

Passo 3

Agora precisamos juntar os resultados picados, para obter o valor final:

f (1,2) - (del f)/(del x) (1,2) + (del f)/(del y) (1,2) - (del f)/(del x) (0,0) =

= 4 - (12)/(5) + (4)/(5) - 0

= (12)/(5)

Resposta

(12)/(5)

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