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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 4a

Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) usando a regra da cadeia:

z = x^2 + y^2 , x = u * sin v , y = v * cos u

Passo 1

Bom galera, vamos ter que usar a regra da cadeia, pra isso vamos precisar lembrar de uma formulinha, essa aqui:

(del z)/(del u) = (del z)/(del x) * (del x)/(del u) + (del z)/(del y) * (del y)/(del u)

E também:

(del z)/(del v) = (del z)/(del x) * (del x)/(del v) + (del z)/(del y) * (del y)/(del v)

Parece até meio complicadinha, mas vamos aplicar na prática que eu prometo que as coisas vão ficar mais claras. 😊

Passo 2

Belezinha, vamos aplicar a nossa função dentro da formula (Lembrando que quando a gente deriva em função de uma variável consideramos a outra constante):

(del z)/(del u) = (del ( x^2 + y^2 ))/(del x) * (del (u * sin v))/(del u) + (del ( x^2 + y^2 ))/(del y) * (del ( v * cos u ))/(del u)

= (2 x) * (sin v) + ( 2 y ) * ( - v * sin u )

E substituimos x e y com as equações que elas valem:

= (2 u * sin v) * (sin v) + ( 2 v * cos u ) * ( - v * sin u )

= 2 u * sin^2 v - 2 v^2 * cos u * sin u

Passo 3

Por fim, fazemos o mesmo para calcular a outra derivada:

(del z)/(del v) = (del z)/(del x) * (del x)/(del v) + (del z)/(del y) * (del y)/(del v)

= (del ( x^2 + y^2 ))/(del x) * (del (u * sin v))/(del v) + (del ( x^2 + y^2 ))/(del y) * (del ( v * cos u ))/(del v)

= (2 x) * (u * cos v) + (2 y) * (cos u)

Substituimos x e y :

= (2 * u * sin v) * (u * cos v) + (2 * v * cos u) * (cos u)

= 2 u^2 * sin v * cos v + 2 v * cos^2 u

Resposta

(del z)/(del u) = 2 u * sin^2 v - 2 v^2 * cos u * sin u

(del z)/(del v) = 2 u^2 * sin v * cos v + 2 v * cos^2 u

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