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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 4b

Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) determinando a função z (u , v) :

z = x^2 + y^2 , x = u * sin v , y = v * cos u

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente vai ter de substituir as variaveis x e y pela função que elas equivalem, porque assim a gente vai conseguir formar uma função apenas em função de u e v . Então bora lá!

z = x^2 + y^2

Substituindo ficamos com:

z = ( u * sin v )^2 + ( v * cos u )^2

-> z = u^2 * sin^2 v + v^2 * cos^2 u

Passo 2

Belezinha, agora vamos ter que devirar isso, primeiro em relação a u usando a propriedade da derivada do produto, que é bem assim:

(f (x) * g (x)) ' = f^' (v) * g (v) + f (v) * g ' ( v )

Agora vamos lá, temos a soma de dois produtos:

(del z)/(del u) = [(u^2)^' * (sin^2 v) + (u^2) * ( sin^2 v ) '] + [(v^2)^' * (cos^2 u) + (v^2) * ( cos^2 u ) ']

= [( 2 u ) * (sin^2 v) + (u^2) * (0)] + [( 0 ) * (cos^2 u) + (v^2) * ( - sin 2 x )]

= [( 2 u ) * (sin^2 v)] + [(v^2) * ( - sin 2 x )]

= 2 u sin^2 v - v^2 sin 2 x

Passo 3

Agora vamos derivar em relação a v , onde também precisamos usar a propriedade da derivada do produto:

(del z)/(del v) = [(u^2)^' * (sin^2 v) + (u^2) * ( sin^2 v ) '] + [(v^2)^' * (cos^2 u) + (v^2) * ( cos^2 u ) ']

= [(0) * (sin^2 v) + (u^2) * (sin 2 v)] + [(2 v) * (cos^2 u) + (v^2) * (0)]

= [(u^2) * (sin 2 v)] + [(2 v) * (cos^2 u)]

= u^2 * sin 2 v + 2 v * cos^2 u

E prontinho. 😊

Resposta

(del z)/(del u) = 2 u sin^2 v - v^2 sin 2 x

(del z)/(del v) = u^2 * sin 2 v + 2 v * cos^2 u

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