Enunciado

Determine as derivadas parciais.

z = x 2 ln ⁡ 1 + x 2 + y 2

Passo 1

Olá, meu brother! Como vai?

Aqui a gente vai calcular as derivadas parciais da função:

z = x 2 ln ⁡ 1 + x 2 + y 2

O que fazemos ao calcular a derivada parcial de uma função é considerar uma derivada como constante e derivar em relação a outra.

Nessa função em especifico iremos utilizar também a regra da cadeia, pois estamos aqui com a composição de função.

Também deveremos aplicar a regra do produto, pois veja que também temos o produto entre funções.

Então vamos nessa meu manooooo!!!!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função em relação a x .

Temos então a função:

z = x 2 ln ⁡ 1 + x 2 + y 2

Vamos derivar em relação a x :

z x = ∂ ∂ x ( x 2 ln ⁡ 1 + x 2 + y 2

Aplicando a regra do produto:

z x = ∂ ∂ x x 2 ⋅ ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 + ∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 ⋅ x 2

Derivada de:

∂ ∂ x x 2 = 2 x

E para:

∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + y 2

Precisamos aplicar a regra da cadeia:

∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 = ∂ ∂ u ln ⁡ u ⋅ ∂ ∂ x u x , y

Sendo u x , y = 1 + x 2 + y ² , sendo assim:

∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 = 1 u ⋅ 2 x

Substituindo:

∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 = 2 x 1 + x 2 + y ²

Colocando então na nossa equação da derivada:

z x = ∂ ∂ x x 2 ⋅ ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 + ∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 ⋅ x 2

z x = 2 x ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 + 2 x ³ 1 + x 2 + y ²

Passo 3

Vamos agora repetir o processo, mas para a variável y , mas a diferença agora é que não iremos mais aplicar a regra do produto, já que não temos mais um produto entre funções.

z = x 2 ln ⁡ 1 + x 2 + y 2

Vamos derivar em relação a y :

z y = ∂ ∂ x ( x 2 ln ⁡ 1 + x 2 + y 2

Precisamos aplicar a regra da cadeia:

∂ ∂ y ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 = ∂ ∂ u ln ⁡ u ⋅ ∂ ∂ y u x , y

Sendo u x , y = 1 + x 2 + y ² , sendo assim:

∂ ∂ y ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 = 1 u ⋅ 2 y

Substituindo:

∂ ∂ y ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 = 2 y 1 + x 2 + y ²

Isso resulta em:

z y = 2 y 1 + x 2 + y ² x ²

Resposta

z x = 2 x ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 + 2 x ³ 1 + x 2 + y ²

z y = 2 y 1 + x 2 + y ² x ²

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