Determine as derivadas parciais

f(x, y) = e^(-x² - y²)

Passo 1

Olá, meu mano! Como vai? Pronto para aprender mais um pouco hoje? Aqui a gente vai calcular as derivadas parciais da função:

f x , y = e - x 2 - y ²

O que fazemos ao calcular a derivada parcial de uma função é considerar uma derivada como constante e derivar em relação a outra.

Nessa função em especifico iremos utilizar também a regra da cadeia, pois estamos aqui com a composição de função.

Então vamos nessa meu manooooo!!!!

Passo 2

Temos a função:

f x , y = e - x 2 - y ²

Vamos atrás da derivada:

f x = ∂ ∂ x e - x 2 - y 2

Aplicando a regra da cadeia a gente tem:

f x = ∂ ∂ u e u ⋅ ∂ ∂ x u x , y

Sendo:

u x , y = - x 2 - y ²

A gente tem:

f x = e - x 2 - y 2 ⋅ ∂ ∂ x - x 2 - y 2

E finalmente:

f x = e - x 2 - y ² ⋅ - 2 x

Passo 3

Agora em relação a y :

Temos a função:

f x , y = e - x 2 - y ²

Vamos atrás da derivada:

f y = ∂ ∂ y e - x 2 - y 2

Aplicando a regra da cadeia a gente tem:

f y = ∂ ∂ u e u ⋅ ∂ ∂ y u x , y

Sendo:

u x , y = - x 2 - y ²

A gente tem:

f y = e - x 2 - y 2 ⋅ ∂ ∂ y - x 2 - y 2

E finalmente:

f y = e - x 2 - y ² ⋅ - 2 y

Resposta

f x = e - x 2 - y ² ⋅ - 2 x

f y = e - x 2 - y ² ⋅ - 2 y

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