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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 8

Nos Exercícios 7-10, encontre grad f no ponto dado.

f (x , y , z) = 2 z^3 - 3 (x^2 + y^2) z + tg^(- 1) x z , (1 , 1 , 1)

Passo 1

Olá galerinha, vamos lá encarar este exercício juntos!

Para uma função diferenciável f (x , y , z) e um vetor unitário u = u_1 i + u_2 j + u_3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

grad f = (del f)/(del x) i + (del f)/(del y) j + (del f)/(del z) k

Do enunciado temos a seguinte função:

f (x , y , z) = 2 z^3 - 3 (x^2 + y^2) z + tg^(- 1) x z

Para resolvermos as derivadas precisamos relembrar que:

y = tg^(- 1) u -> y^' = (u^')/(1 + u^2)

Rearranjando a função:

f (x , y , z) = 2 z^3 - 3 x^2 z - 3 y^2 z + tg^(- 1) x z

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas da função f e já substituir o ponto (1 , 1 , 1) . Para a derivada em relação a x temos:

(del f)/(del x) = - 6 x z + (z)/(1 + (x z)^2) = z ((1)/(1 + x^2 z^2) - 6 x)

(del f)/(del x) = 1 ((1)/(1 + 1^2 1^2) - 6 * 1) = (1)/(2) - 6

(del f)/(del x) = - (11)/(2)

Em relação a y :

(del f)/(del y) = - 6 y z = - 6 * 1 * 1

(del f)/(del y) = - 6

E em relação a z :

(del f)/(del z) = 6 z^2 - 3 x^2 - 3 y^2 + (x)/(1 + x^2 z^2)

(del f)/(del z) = 6 * 1^2 - 3 * 1^2 - 3 * 1^2 + (1)/(1 + 1^2 1^2)

(del f)/(del z) = (1)/(2)

Sendo assim, nosso gradiente é:

grad f = - (11)/(2) i - 6 j - (1)/(2) k

Até mais pessoal.

Resposta

grad f = - (11)/(2) i - 6 j - (1)/(2) k

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