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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 7

Nos Exercícios 7-10, encontre grad f no ponto dado.

f (x , y , z) = x^2 + y^2 - 2 z^2 + z ln x , (1 , 1 , 1)

Passo 1

Olá galerinha, vamos lá encarar este exercício juntos!

Para uma função diferenciável f (x , y , z) e um vetor unitário u = u_1 i + u_2 j + u_3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

grad f = (del f)/(del x) i + (del f)/(del y) j + (del f)/(del z) k

Do enunciado temos a seguinte função:

f (x , y , z) = x^2 + y^2 - 2 z^2 + z ln x

Para resolvermos as derivadas precisamos relembrar que:

y = ln u -> y^' = (u^')/(u)

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas da função f e já substituir o ponto (1 , 1 , 1) . Em relação a x :

(del f)/(del x) = 2 x + (z)/(x) = 2 * 1 + (1)/(1)

(del f)/(del x) = 3

Em relação a y :

(del f)/(del y) = 2 y = 2 * 1

(del f)/(del y) = 2

E em relação a z :

(del f)/(del z) = - 4 z + ln x = - 4 * 1 + ln 1

(del f)/(del z) = - 4

Sendo assim, nosso gradiente é:

grad f = 3 i + 2 j - 4 k

Até mais pessoal.

Resposta

grad f = 3 i + 2 j - 4 k .

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Enunciado
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