Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 10

Nos Exercícios 7-10, encontre grad f no ponto dado.

f (x , y , z) = e^(x + y) cos z + (y + 1) sen^(- 1) x , (0 , 0 , pi // 6)

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

Para uma função diferenciável f (x , y , z) e um vetor unitário u = u_1 i + u_2 j + u_3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

grad f = (del f)/(del x) i + (del f)/(del y) j + (del f)/(del z) k

Do enunciado temos a seguinte função:

f (x , y , z) = e^(x + y) cos z + (y + 1) sen^(- 1) x

Para resolvermos as derivadas precisamos relembrar que:

{[[y = e^u -> y^' = u ' e^u],[y = cos u -> y^' = - u^' sen u],[y = sen^(- 1) u -> y^' = (1)/(sqrt(1 - x^2))]])

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas da função f e já substituir o ponto (0 , 0 , pi // 6) . Para a derivada em relação a x temos:

(del f)/(del x) = e^(x + y) cos z + (y + 1)/(sqrt(1 - x^2)) = e^0 cos ((pi)/(6)) + (0 + 1)/(sqrt(1 - 0^2))

(del f)/(del x) = 1 * (sqrt(3))/(2) + 1

(del f)/(del x) = (sqrt(3) + 2)/(2)

Em relação a y :

(del f)/(del y) = e^(x + y) cos z + sen^(- 1) x = (sqrt(3))/(2) + sen^(- 1) 0

(del f)/(del y) = (sqrt(3))/(2)

E em relação a z :

(del f)/(del z) = - e^(x + y) sen z = - 1 * sen ((pi)/(6))

(del f)/(del z) = - (1)/(2)

Sendo assim, nosso gradiente é:

grad f = ((sqrt(3) + 2)/(2)) i + (sqrt(3))/(2) j - (1)/(2) k

Tchau, até mais!

Resposta

grad f = ((sqrt(3) + 2)/(2)) i + (sqrt(3))/(2) j - (1)/(2) k

Exercícios de Livros Relacionados

Considere a curva C de intersseção das superfícies definidas de equações x 2 - 2 x z + y 2 z = 3 e 3 x y - 2 y z = - 2 . Determine:Um vetor tangente a C em ( 1 , - 2,1 ) .
12-Mostre que em todos os pontos da interseção da semiesfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 16 ,z ≥ 0 , com o cone de equação z = x 2 + y 2 , os vetores normais a estas superfícies são ortogonais.
14. Seja z = f ( x , y ) uma função de classe C 1 . O gráfico de f ( x , y ) pode ser considerado como a superfície de nível de nível F x , y , z = f x , y - z = 0 . Mostre que as equações do plano ta
Existe uma direção u na qual a taxa de variação de ƒ(x, y) = x2 – 3xy + 4y2 em P(1, 2) é igual a 14? Justifique sua resposta.
Derivadas direcionais e componentes escalares Como é a derivada de uma função diferenciável ƒ(x, y, z) em um ponto P0 na direção de um vetor unitário u relacionado ao componente escalar de (¥ƒ)P0 na d