Nos Exercícios 7-10, encontre ∇ f no ponto dado.

f(x, y, z) = e^(x+y) \* cos(z) + (y+1) \* sen^(-1)(x), (0, 0, pi/6)

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

Para uma função diferenciável f x ,   y ,   z e um vetor unitário u = u 1 i + u 2 j + u 3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Do enunciado temos a seguinte função:

f x ,   y ,   z = e x + y cos ⁡ z + y + 1 sen - 1 ⁡ x

Para resolvermos as derivadas precisamos relembrar que:

y = e u → y ' = u ' e u                                 y = cos ⁡ u → y ' = - u ' sen ⁡ u     y = sen - 1 ⁡ u → y ' = 1 1 - x 2

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas da função f e já substituir o ponto 0 ,   0 ,   π / 6 . Para a derivada em relação a x temos:

∂ f ∂ x = e x + y cos ⁡ z + y + 1 1 - x 2 = e 0 cos ⁡ π 6 + 0 + 1 1 - 0 2

∂ f ∂ x = 1 ∙ 3 2 + 1

∂ f ∂ x = 3 + 2 2

Em relação a y :

∂ f ∂ y = e x + y cos ⁡ z + sen - 1 ⁡ x = 3 2 + sen - 1 ⁡ 0

∂ f ∂ y = 3 2

E em relação a z :

∂ f ∂ z = - e x + y sen ⁡ z = - 1 ∙ sen ⁡ π 6

∂ f ∂ z = - 1 2

Sendo assim, nosso gradiente é:

∇ f = 3 + 2 2 i + 3 2 j - 1 2 k

Tchau, até mais!

Resposta

∇ f = 3 + 2 2 i + 3 2 j - 1 2 k

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