Nos Exercícios 7-10, encontre grad f no ponto dado.

f (x , y , z) = e^(x + y) cos z + (y + 1) sen^(- 1) x , (0 , 0 , pi // 6)

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

Para uma função diferenciável f (x , y , z) e um vetor unitário u = u_1 i + u_2 j + u_3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

grad f = (del f)/(del x) i + (del f)/(del y) j + (del f)/(del z) k

Do enunciado temos a seguinte função:

f (x , y , z) = e^(x + y) cos z + (y + 1) sen^(- 1) x

Para resolvermos as derivadas precisamos relembrar que:

{[[y = e^u -> y^' = u ' e^u],[y = cos u -> y^' = - u^' sen u],[y = sen^(- 1) u -> y^' = (1)/(sqrt(1 - x^2))]])

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas da função f e já substituir o ponto (0 , 0 , pi // 6) . Para a derivada em relação a x temos:

(del f)/(del x) = e^(x + y) cos z + (y + 1)/(sqrt(1 - x^2)) = e^0 cos ((pi)/(6)) + (0 + 1)/(sqrt(1 - 0^2))

(del f)/(del x) = 1 * (sqrt(3))/(2) + 1

(del f)/(del x) = (sqrt(3) + 2)/(2)

Em relação a y :

(del f)/(del y) = e^(x + y) cos z + sen^(- 1) x = (sqrt(3))/(2) + sen^(- 1) 0

(del f)/(del y) = (sqrt(3))/(2)

E em relação a z :

(del f)/(del z) = - e^(x + y) sen z = - 1 * sen ((pi)/(6))

(del f)/(del z) = - (1)/(2)

Sendo assim, nosso gradiente é:

grad f = ((sqrt(3) + 2)/(2)) i + (sqrt(3))/(2) j - (1)/(2) k

Tchau, até mais!

Resposta

grad f = ((sqrt(3) + 2)/(2)) i + (sqrt(3))/(2) j - (1)/(2) k

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