Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios práticos - Ex. 37

Nos Exercícios 37-40, encontre as direções nas quais ƒ cresce e decresce mais rapidamente em P0 e encontre a derivada de ƒ em cada direção. Encontre também a derivada de ƒ em P0 na direção do vetor v.

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Para encontrarmos as direções de crescimento e decrescimento de precisamos achar o seu gradiente, dado por:

E a partir disso, encontraremos o vetor unitário do gradiente de .

Temos então que para:

Temos:

Dessa forma aplicado ao ponto:

Para encontrar o vetor unitário, precisamos primeiro do módulo de , dado por:

O vetor unitário gradiente por sua vez é dado por:

Significando que cresce mais rapidamente nessa direção, e descresce justamente no negativo dela, ou seja:

Resposta

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a) Se u → = ( a ,b ) é uma unidade vetorial e f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, mostre que D u 2 f = f x x a 2 + 2 f x y a b + f y y b 2 b) Determine a derivada direcional de f x ,

Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicado pelo ângulo θ . f x , y = e x cos ⁡ y , 0 ,0 ,θ = π / 4

A segunda derivada direcional de f ( x , y ) é D u 2 f x , y = D u D u f x , y Se f x , y = x 3 + 5 x 2 y + y 3 e u → = 3 5 , 4 5 , calcule D u 2 f ( 2 ,1 ) .

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . f x , y = x x 2 + y 2 , 1 ,2 ,v → = ( 3 ,5 )

Mostre que a soma das interseções x , y e z de qualquer plano tangente à superfície x + y + z = c é uma constante.