Nos exercícios de 1 a 6, encontre as derivadas parciais indicadas

3.

f(x, y) = e^(y/x) * ln( (x^2) / y )

f_y(x, y)

Passo 1

Oii, neste capítulo estamos subindo de nível. Em cálculo 1 tínhamos apenas uma variável e várias constantes na nossa equação. Agora temos 2 ... 3 variáveis na mesma equação.

O que fazer? Primeiro sem pânico. Sabemos derivar! O que vamos fazer agora que temos várias variáveis e queremos derivar parcialmente é tratar a variável que você quer derivar como única e todas as outras passam a ser constantes no nosso sistema. Por exemplo, se nossa equação é

f x , y = x 2 + y 2

Se quisermos derivamos parcial para y faremos

∂ f ∂ y = 2 y

Afinal se x é uma constante, ao derivar ela se torna nula. 😉

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

f x , y = e y x ln ⁡ x 2 y

E queremos derivar parcialmente em y, vamos usar a regra do produto neste caso

∂ f ∂ y = e y x ⋅ y x ' ln ⁡ x 2 y + e y x ⋅ x 2 y ' x 2 y

= e y x ⋅ 1 x ln ⁡ x 2 y + e y x ⋅ x 2 ⋅ - 1 y 2 x 2 y  

= e y x 1 x ln ⁡ x 2 y - 1 y 2 1 y  

= e y x 1 x ln ⁡ x 2 y - 1 y

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

f y x , y =   e y x 1 x ln ⁡ x 2 y - 1 y

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