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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 26

Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a

26. f x = 3 x 5 - x 4 + 2 x 3 + x 2 - 2 ,   a = - 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Para encontrar a série de Taylor para f x = 3 x 5 - x 4 + 2 x 3 + x 2 - 2 , gerado no ponto a = - 1 , podemos encontrar as primeiras derivadas dele. O processo de diferenciação é mostrado abaixo:

f x = 3 x 5 - x 4 + 2 x 3 + x 2 - 2 → f - 1 = 3 - 1 5 - - 1 4   + 2 - 1 3 + - 1 2 - 2 = - 7

f ' x = 15 x 4 - 4 x 3 + 6 x 2 + 2 x → f ' - 1 = 15 - 1 4 - 4 - 1 3 + 6 - 1 2 + 2 ( - 1 ) = 23

f ' ' x = 60 x 3 - 12 x 2 + 12 x + 2 → f ' ' - 1 = 60 - 1 3 - 12 - 1 2 + 12 - 1 + 2 = - 82

f ' ' ' x = 180 x 2 - 24 x + 12 → f ' ' ' - 1 = 180 - 1 2 - 24 - 1 + 12 = 216

f ' ' ' ' x = 360 x - 24 → f ' ' ' ' - 1 = - 384

f 5 x = 360 → f 5 - 1 = 360

Portanto, para todo k > 5 ,   k ∈ N , a k-ésima derivada da função é igual a 0 .

f k x = 0 ,   k > 5 ,   k ∈ N

Passo 2

A derivada de sexta ordem e as derivadas de ordem superior são 0, então o polinômio de Taylor é de ordem 5, que possui apenas 5 + 1 = 6 termos. Assim, o polinômio de Taylor para isso é:

∑ k = 0 4 f n - 2 n ! x + 2 n = - 7 + 23 x + 1 - 82 2 x + 1 2 + 216 6 x + 1 3 - 384 24 x + 1 4 + 360 120 x + 1 5

Portanto,

∑ k = 0 4 f n - 2 n ! x + 2 n = - 7 - 23 ∙ x + 2 - 41 x + 2 2 - 36 x + 2 3 - 16 x + 2 4 + 3 x + 1 5

Resposta

∑ k = 0 4 f n - 2 n ! x + 2 n = - 7 - 23 ∙ x + 2 - 41 x + 2 2 - 36 x + 2 3 - 16 x + 2 4 + 3 x + 1 5

Exercícios de Livros Relacionados

Use multiplicação ou divisão de séries de potência para encontrar os três primeiros termos não nulos na série de Maclaurin para cada função. y = sec ⁡ x
Use séries para avaliar o limite.61. lim x → 0 ⁡ x - ln ⁡ ( 1 + x ) x 2
Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.60. ∫ 0 0,5 x 2 e - x 2 d x ,( e r r o0,001 )
Use multiplicação ou divisão de séries de potência para encontrar os três primeiros termos não nulos na série de Maclaurin para cada função. y = e x sen 2 ⁡ x
Mostre que se p for um polinômio de enésima ordem, então: p x + 1 = ∑ i = 0 n p i x i !