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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 65

Nos Exercícios 65-68, encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor gerada por f em x = a .

65. f x = 3 + x 2   e m   x = - 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a função é f x = 3 + x 2 ​. A série de Taylor para a função f ( x ) em x = - 1 é dada por

f x = f - 1 + f ' - 1 x - - 1 + f ' ' - 1 2 ! x - - 1 2 + f ' ' ' - 1 3 ! x - - 1 3 + …

Desenvolvendo os termos, nós temos que

f x = f - 1 + f ' - 1 x + 1 + f ' ' - 1 2 ! x + 1 2 + f ' ' ' - 1 3 ! x + 1 3 + …

Agora, nós temos que encontrar f - 1 ,   f ' - 1 ,   f ' ' ( - 1 ) e f ' ' ' ( - 1 ) .

Passo 2

Diferenciando f ( x ) três vezes, de forma sucessiva, nós temos que

f x = 3 + x 2

f ' x = x 3 + x 2 - 1 2

f ' ' x = - x 2 3 + x 2 - 3 2 + 3 + x 2 - 1 2

f ' ' ' x = 3 x 3 3 + x 2 - 5 2 - 3 x 3 + x 2 - 3 2  

Agora, substituindo o x por - 1

f - 1 = 2

f ' - 1 = - 1 2

f ' ' - 1 = - 1 8 + 1 2 = 3 8

f ' ' ' - 1 = - 3 32 + 3 8 = 9 32

Passo 3

Portanto, do exposto acima, os primeiros quatro termos diferentes de zero da série de Taylor gerados por f em x = - 1 são

f x = 3 + x 2 = - 1 + f ' - 1 x + 1 + f ' ' - 1 2 ! x + 1 2 + f ' ' ' - 1 3 ! x + 1 3 + …

Com isso, nós temos que

f x = 2 + x + 1 2 ∙ 1 ! + 3 2 3 ∙ 2 ! x + 1 2 + 9 2 5 ∙ 3 ! x + 1 3 + …

Resposta

3 + x 2 = 2 + x + 1 2 ∙ 1 ! + 3 2 3 ∙ 2 ! x + 1 2 + 9 2 5 ∙ 3 ! x + 1 3 + …

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