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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 49

  1. Utilize a fórmula de Taylor com n = 2 para encontrar a aproximação quadrática de f x = 1 + x k em x = 0 (k sendo uma constante).
  2. Se k = 3 , para aproximadamente quais valores de x no intervalo [0,1] o erro na aproximação quadrática será menor que 1/100?

Passo 1

Falaaa meus queridos! Tudo bom com vocês? Eu espero que sim! Vamos lá detonar mais uma questãozinha!

  1. Pelo enunciado, temos:

    2. f x = 1 + x k

    Então, temos que:

    f ' x = k 1 + x k - 1

    Na sequência, teremos que:

    f ' ' x = k k - 1 ( 1 + x ) k - 2

    E por sua vez:

    f ( 0 ) = 1

    E na sequência:

    f ' 0 = k

    Por sua vez:

    f ' ' 0 = k ( k - 1 )

    Podemos concluir então que:

    Q x = 1 + k x + k ( k - 1 ) 2 x 2

    Passo 2

  2. Nesse caso, se

R 2 x = 3 * 2 * 1 3 ! x 3

Ou seja, temos que:

R 2 x < 1 100

Simplificando matematicamente, temos:

x 3 < 1 100

O que nos dá o seguinte intervalo:

0 < x < 0.21544

Resposta

  1. Q x = 1 + k x + k ( k - 1 ) 2 x 2
  2. 0 < x < 0.21544

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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