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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 20

Em cada um dos problemas 19 e 20, verifique a equação dada.

20.

∑ k = 0 ∞ a k + 1 x k + ∑ k = 0 ∞ a k x k + 1 = a 1 + ∑ k = 1 ∞ ( a k + 1 + a k - 1 ) x k

Passo 1

Fala galera!!

Para resolver essa questão, podemos começar pegando os temos a esquerda da igualdade.

∑ k = 0 ∞ a k + 1 x k + ∑ k = 0 ∞ a k x k + 1

Agora vamos mexer nesses dois somáticos até que eles de tornem igual ao termo a direita da igualdade.

Passo 2

Vamos começar pegando o segundo somatório e faze-lo começar de 1. Podemos fazer isso da seguinte forma:

Vamos definir k = n - 1

∑ k = 0 ∞ a k x k + 1 = ∑ n - 1 = 0 ∞ a n - 1 x n - 1 + 1 = ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n

Podemos substituir a variável muda n por k novamente. Assim temos:

∑ k = 0 ∞ a k x k + 1 = ∑ k = 1 ∞ a k - 1 x k

Passo 3

Assim temos que os dois somatórios podem ser escritos da seguinte maneira:

∑ k = 0 ∞ a k + 1 x k + ∑ k = 0 ∞ a k x k + 1 = a 1 + ∑ k = 1 ∞ ( a k + 1 + a k - 1 ) x k

Substituindo o somatório que encontramos no passo anterior, temos:

∑ k = 0 ∞ a k + 1 x k + ∑ k = 1 ∞ a k - 1 x k = a 1 + ∑ k = 1 ∞ ( a k + 1 + a k - 1 ) x k

Precisos unir os dois somatórios na direita da igualdade, para isso, os somatórios precisam começar do mesmo termo. Então, vamos tirar o primeiro temor do somatório que começa de zero. Assim temos:

a 1 + ∑ k = 1 ∞ a k + 1 x k + ∑ k = 1 ∞ a k - 1 x k = a 1 + ∑ k = 1 ∞ ( a k + 1 + a k - 1 ) x k

Unindo os somatórios temos:

a 1 + ∑ k = 1 ∞ a k + 1 x k + a k - 1 x k = a 1 + ∑ k = 1 ∞ ( a k + 1 + a k - 1 ) x k

Agora, colocamos x k em evidencia.

a 1 + ∑ k = 1 ∞ a k + 1 + a k - 1 x k = a 1 + ∑ k = 1 ∞ ( a k + 1 + a k - 1 ) x k

Com isso, provamos que:

∑ k = 0 ∞ a k + 1 x k + ∑ k = 0 ∞ a k x k + 1 = a 1 + ∑ k = 1 ∞ ( a k + 1 + a k - 1 ) x k

Portanto a igualdade acima é verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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