Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 2

Nos Exercícios 1-6, (a) expresse d w / d t como uma função de t, utilizando a regra da cadeia, expressando w em termos de t e diferenciando diretamente com relação a t. Em seguida, (b) calcule dw/dt no valor dado de t.

w = x 2 + y 2 ,     x = cos ⁡ t + s e n   t ,     y = cos ⁡ t - s e n   t ;     t = 0

Passo 1

E aí meus queridos? Tudo certinho?

“Operador! Me dê o número do responde ai!.... Preciso resolver essa questão”

  1. Aplicando a regra da cadeia

    2. d w d t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t

    d w d t = ∂ ∂ x x 2 + y 2 d d t cos ⁡ t + sin ⁡ t   + ∂ ∂ y x 2 + y 2 d d t cos ⁡ t - sin ⁡ t  

    = 2 x - sin ⁡ t + cos ⁡ t + 2 y - sin ⁡ t - cos ⁡ t

    = 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t cos ⁡ t - sin ⁡ t - 2 cos ⁡ t - sin ⁡ t cos ⁡ t + sin ⁡ t

    = 2 cos 2 ⁡ t - 2 sin 2 ⁡ t - 2 cos 2 ⁡ t + 2 sin 2 ⁡ t = 0

    Passo 2

    Com cálculo direto,

    w = cos ⁡ t + sin ⁡ t 2 + cos ⁡ t - sin ⁡ t 2

    w = cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t + 2 cos ⁡ t sin ⁡ t + cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t sin ⁡ t

    w = 2 cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 2

    Portanto, a solução é d w / d t = 0 .

    Passo 3

  2. Em t = 0 temos

d w d t t = 0 = 0

"Se algo é difícil de fazer, vale a pena ser feito!"

Resposta

  1. Portanto, a solução é d w / d t = 0 .
  2. Assim, a solução é 0.

Exercícios de Livros Relacionados

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .4. z = 1 + x y ,x = tan ⁡ t ,y = a r c tan ⁡ t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .10. z = x e x y ,x = 1 + s t ,y = s 2 - t ² ²
O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 1,8 c m s enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de 2,5 c m s . Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é 120
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .7. z = x - y 5 ,x = s 2 t ,y = s t ² ²
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .5. w = x e y z ,x = t 2 ,y = 1 - t ,z = 1 + 2 t