Calcule dz / dt usando a regra da cadeia:

z = y \* e^x + x \* e^y , x = cos t , y = sen(t) .

Passo 1

Bom galera, vamos ter que usar a regra da cadeia, pra isso vamos precisar lembrar de uma formulinha, essa aqui:

d z d t = d z d x ⋅ d x d t + d z d y ⋅ d y d t

Parece até meio complicadinha, mas vamos aplicar na prática que eu prometo que as coisas vão ficar mais claras. 😊

Passo 2

Belezinha, vamos aplicar a nossa função dentro da formula (Lembrando que quando a gente deriva em função de uma variável consideramos a outra constante):

d z d t = d ( y e x + x e y ) d x ⋅ d ( cos ⁡ t ) d t + d y e x + x e y d y ⋅ d ( sin ⁡ t ) d t

Derivando ficamos com:

d z d t = ( y e x + e y ) ⋅ ( - sin ⁡ t ) + ( e x + x e y ) ⋅ ( cos ⁡ t )

Passo 3

Por fim, a gente subsitui nossas variáveis pelas funções que elas represente em relação a t :

d z d t = ( y e x + e y ) ⋅ ( - sin ⁡ t ) + ( e x + x e y ) ⋅ ( cos ⁡ t )

→ d z d t = ( sin ⁡ t ⋅ e cos ⁡ t + e sin ⁡ t ) ⋅ ( - sin ⁡ t ) + ( e cos ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ e sin ⁡ t ) ⋅ ( cos ⁡ t )

→ d z d t = - sin 2 ⁡ t ⋅ e cos ⁡ t - sin ⁡ t ⋅ e sin ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ e cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t ⋅ e sin ⁡ t

Calma, eu sei que tá grande mas ta acabando, na verdade essa já é a resposta, só que é sempre bom simplificar quanto mais a gente puder, então a gente pode fazer isso:

→ d z d t = - sin 2 ⁡ t ⋅ e cos ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ e cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t ⋅ e sin ⁡ t - sin ⁡ t ⋅ e sin ⁡ t

→ d z d t = ( - sin 2 ⁡ t + cos ⁡ t ) ⋅ e cos ⁡ t + ( cos 2 ⁡ t - sin ⁡ t ) ⋅ e sin ⁡ t

E prontinho. 😊

Resposta

d z d t = ( - sin 2 ⁡ t + cos ⁡ t ) ⋅ e cos ⁡ t + ( cos 2 ⁡ t - sin ⁡ t ) ⋅ e sin ⁡ t

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