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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 1a

Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:

z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .

Passo 1

Bom galera, vamos ter que usar a regra da cadeia, pra isso vamos precisar lembrar de uma formulinha, essa aqui:

(d z)/(d t) = (d z)/(d x) * (d x)/(d t) + (d z)/(d y) * (d y)/(d t)

Parece até meio complicadinha, mas vamos aplicar na prática que eu prometo que as coisas vão ficar mais claras. 😊

Passo 2

Belezinha, vamos aplicar a nossa função dentro da formula (Lembrando que quando a gente deriva em função de uma variável consideramos a outra constante):

(d z)/(d t) = (d ( y e^x + x e^y ))/(d x) * (d ( cos t ))/(d t) + (d (y e^x + x e^y))/(d y) * (d ( sin t ))/(d t)

Derivando ficamos com:

(d z)/(d t) = ( y e^x + e^y ) * ( - sin t ) + ( e^x + x e^y ) * ( cos t )

Passo 3

Por fim, a gente subsitui nossas variáveis pelas funções que elas represente em relação a t :

(d z)/(d t) = ( y e^x + e^y ) * ( - sin t ) + ( e^x + x e^y ) * ( cos t )

-> (d z)/(d t) = ( sin t * e^(cos t) + e^(sin t) ) * ( - sin t ) + ( e^(cos t) + cos t * e^(sin t) ) * ( cos t )

-> (d z)/(d t) = - sin^2 t * e^(cos t) - sin t * e^(sin t) + cos t * e^(cos t) + cos^2 t * e^(sin t)

Calma, eu sei que tá grande mas ta acabando, na verdade essa já é a resposta, só que é sempre bom simplificar quanto mais a gente puder, então a gente pode fazer isso:

-> (d z)/(d t) = - sin^2 t * e^(cos t) + cos t * e^(cos t) + cos^2 t * e^(sin t) - sin t * e^(sin t)

-> (d z)/(d t) = ( - sin^2 t + cos t ) * e^(cos t) + ( cos^2 t - sin t ) * e^(sin t)

E prontinho. 😊

Resposta

(d z)/(d t) = ( - sin^2 t + cos t ) * e^(cos t) + ( cos^2 t - sin t ) * e^(sin t)

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Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = (x^2 + y^2) ln sqrt(x^2 + y^2) , x = e^t , y = e^(- t) .
Calcule ∂ z ∂ u e ∂ z ∂ v determinando a função z u , v : z = x 2 + y 2 , x = u ⋅ sin ⁡ v , y = v ⋅ cos ⁡ u
Calcule d z d t determinando a função composta z ( t ) e derivando em função de t : z = x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 , x = e t , y = e - t .
Este exercício nos dá um exemplo de que a regra da cadeia não se aplica quando a função f x , y não é diferenciavel.Considera a função f x , y = x y 2 x 2 + y 2, x , y ≠ ( 0,0 ) 0, x , y = 0,0 Mostre
Sejam f : R 3 → R diferenciável e P 0 = 0,0 , 0 tais que ∂ f ∂ x P 0 = 2 , ∂ f ∂ y P 0 = ∂ f ∂ z P 0 = 0 . Defina g u , v = f u - v , u 2 - 1,3 v - 3 e calcule ∂ g ∂ u 1,1 e ∂ g ∂ v 1,1 .