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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 51

Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.

51. - 1 + 2 x - 3 x 2 + 4 x 3 - 5 x 4 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem? Que ótimo, vem comigo para mais uma questão!

Antes de tentar identificar a série do enunciado, vamos notar que os termos dessa série são todos do tipo

( - 1 ) n + 1 ( n + 1 ) x n

Para obter essa série, vamos usar

1 1   +   x = 1 - x + x 2 -   ⋯   + ( - 1 ) n x n +   ⋯   = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n ,   | x | < 1

Agora, vamos multiplicar a série acima por - 1 1   +   x :

- 1 ( 1   +   x ) 2   = ( - 1 + x + x 2   + ⋯ - ( - 1 ) n x n - ⋯   ) 1 - x + x 2 - ⋯ + ( - 1 ) n x n + ⋯    

Esse cálculo vai ser um pouquinho extenso, então deixamos para o próximo passo.

Passo 2

Vamos olhar bem para cada termo da multiplicação:

para - 1 :

- 1 ⋅ 1 - x + x 2 - ⋯ + ( - 1 ) n x n + ⋯   = - 1   + x   - x 2 + ⋯ + ( - 1 ) n + 1 x n +   ⋯  

⇒ - 1 ⋅ 1 - x + x 2 - ⋯ + ( - 1 ) n x n + ⋯   = ∑ n = 0 ∞   ( - 1 ) n + 1 x n  

para x :

x ⋅ 1 - x + x 2 - ⋯ + ( - 1 ) n x n + ⋯   = x   - x 2   + x 3 - ⋯ + ( - 1 ) n x n + 1 +   ⋯

⇒ x ⋅ 1 - x + x 2 - ⋯ + ( - 1 ) n x n + ⋯   = ∑ n = 1 ∞   ( - 1 ) n - 1 x n = ∑ n = 1 ∞   ( - 1 ) n + 1 x n

para - x 2 :

- x 2 ⋅ 1 - x + x 2 - ⋯ + ( - 1 ) n x n + ⋯   = - x 2   - x 3   - x 2 + ⋯ + ( - 1 ) n + 1 x n + 2 +   ⋯

⇒ - x 2 ⋅ 1 - x + x 2 - ⋯ + ( - 1 ) n x n + ⋯   = ∑ n = 2 ∞   ( - 1 ) n - 1 x n = ∑ n = 2 ∞   ( - 1 ) n x n

E assim por diante.

Passo 3

Então, quando somarmos os produtos, veremos a seguinte sequência:

- 1 ( 1   +   x ) 2   = - 1   +   2 x   - 3 x 2   +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n + 1 n   x n - 1 +   ⋯  

que é justamente o que foi dado no enunciado. Ou seja, a soma dessa série é - 1 ( 1   +   x ) 2  

Resposta

- 1 ( 1 + x ) 2

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