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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 46

  1. Expanda 1 / 1 + x 4 como uma série de potências.
  2. Utilize a parte (a) para estimar 1 / 1,1 4   com precisão de três casas decimais.

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!

Para solucionar essa questão vamos reescrever a expressão 1 1 + x 4 como 1 + x - 1 4 . Em seguida, utilizaremos a expansão da série de potências 1 + x n para encontrar a série de potências de 1 + x - 1 4 .

Por fim, a partir da série de potências obtida, estimaremos 1 1,1 1 4 com uma precisão de três casas decimais

Passo 2

a) Vamos usar a expansão da série de potências   1 + x - 1 4 . A série correspondente é:

∑ n = 0 ∞ - 1 4 n x n

Desenvolvendo a série, temos...

= 1 - 1 4 x + - 1 4 - 5 4 2 ! x 2 + - 1 4 - 5 4 - 9 4 3 ! x 3 + …

Ou seja:

1 - 1 4 x + ∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 ∙ 5 ∙ 9 … 4 n - 3 4 n ∙ n ! x n

Essa é uma regra geral para definir a série de potências.

Passo 3

b) Agora, usamos a fórmula encontrada para aplicar alguns valores:

= 1 - 1 4 x + 5 32 x 2 - 15 128 x 3 + 195 2048 x 4 - …

Queremos o valor dessa soma com x = 0,1

A gente quer o valor dessa soma com x = 0,1 , (porque é 1 1,1 1 4 que estamos procurando), com precisão de três casas decimais.

Olha só...

195 2048 0,1 4 ≅ 0,0000095

Isso não vai alterará a terceira casa decimal, então podemos somar apenas os 4 primeiros termos:

1 - 1 4 ( 0,1 ) + 5 32 0,1 2 - 15 128 0,1 3 ≅ 0,976

E... pronto!

Resposta

  1. 1 - 1 4 x + ∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 ∙ 5 ∙ 9 … 4 n - 3 4 n ∙ n ! x n
  2. 0,976
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