Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 15

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização da função naquele ponto.

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão não tem mistério.

Dada a função:

E o ponto:

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais e existem e são contínuas num dado ponto.

Para a linearização devemos utilizar a seguinte formula:

Em que é o ponto dado.

Passo 2

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse .

Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto .

Passo 3

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto , basta fazer:

Resposta

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Mostre que a função é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à Definição 7. f x , y = x y - 5 y 2

Demonstre que, sef é uma função de duas variáveis diferenciável em ( a , b ) , então f é contínua em ( a , b ) . Sugestão: Mostre que lim Δ x , Δ y → 0,0 ⁡ f ( a + Δ x , b + Δ y ) = f ( a , b )

Mostre que a função é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à Definição 7. f x , y = x 2 + y 2

(a) A função corresponde ao gráfico da Figura 4. Mostre que f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 ) existem, mas f não é diferenciável em ( 0,0 ) . [Sugestão: Utilize o resultado do Exercício 45.](b) Explique por q

Mostre que, se z = f (x , y) for diferenciável em x_0 = 〈x_0 , y_0〉 , entãounderset(x - x_0)(lim) (f (x) - f (x_0) - grad f (x_0) * (x - x_0))/(|x - x_0|) = 0