Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 12

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto.

f x , y = x 3 y 4             ( 1,1 )

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão não tem mistério.

Dada a função:

f x , y = x 3 y 4            

E o ponto:

( 1,1 )

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas num dado ponto.

Para a linearização devemos utilizar a seguinte formula:

L x , y = f a , b + f x a , b x - a + f y a , b y - b

Em que a , b é o ponto dado.

Passo 2

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 3 y 4 = 3 x 2 y 4 →       N o   p o n t o   1,1       ∂ f ∂ x 1,1 = 3

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 3 y 4 = 4 x 3 y 3 →       N o   p o n t o   1,1       ∂ f ∂ y 1,1 = 4

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse ( 1,1 ) .

Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para ∀ x , y ∈ R 2 . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto 1,1 .

Passo 3

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto 1,1 , basta fazer:

L x , y = f a , b + f x a , b x - a + f y a , b y - b

L x , y = f 1,1 ⏟ 1 + ∂ f ∂ x 1,1 ⏟ 3 ⋅ x - 1 + ∂ f ∂ y 1,1 ⏟ 4 ⋅ y - 1

L x , y = 1 + 3 x - 1 + 4 y - 1

L x , y = 3 x + 4 y - 6

Resposta

L x , y = 3 x + 4 y - 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f x , y = x y x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = ( 0,0 )
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f x , y = x 3 x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = ( 0,0 )
Verifique que a função dada é diferenciável.f (x , y) = arctg x y
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f x , y = e 1 x 2 + y 2 - 1 s ex 2 + y 21 0 s ex 2 + y 2 ≥ 1
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f x , y = x y 3 x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = ( 0,0 )