Prove que as funções dadas são diferenciáveis.

c) f(x, y) = x^2 \* y^2

Passo 1

Primeiramente, vemos que f admite derivadas parciais em todo ℝ 2 . São elas

∂ f ∂ x ( x , y ) = 2 x y 2 e ∂ f ∂ y ( x , y ) = 2 x 2 y

Passo 2

Devemos agora avaliar uma pequena variação de f para o cálculo de sua derivada, se existir. Isso é feito por meio da equação seguinte, que deve ser igual a zero:

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) f ( x + a , y + b ) - f ( x , y ) - ∂ f ∂ x ( x , y ) ⋅ a   - ∂ f ∂ y ( x , y ) ⋅ b | ( a , b ) | = 0

Daqui em diante, trataremos o numerador por E ( a , b ) , de tal modo que:

E ( a , b ) = f ( x + a , y + b ) - f ( x , y ) - ∂ f ∂ x ( x , y ) ⋅ a   - ∂ f ∂ y ( x , y ) ⋅ b

Para todo (x,y) em ℝ 2 , temos

E ( a , b ) = ( x + a ) 2 ( y + b ) 2 - x 2 y 2 - 2 x y 2 a - 2 x 2 y b

⇔ E ( a , b ) = ( x 2 + 2 a x + a 2 ) ( y 2 + 2 y b + b 2 )   -   x 2 y 2 - 2 x y 2 a - 2 x 2 y b

⇔ E ( a , b ) = ( x 2 y 2 + 2 x 2 y b + x 2 b 2 + 2 a x y 2 + 4 a x y b + 2 a x b 2 + a 2 y 2 + 2 a 2 y b + a 2 b 2 )   -   x 2 y 2 - 2 x y 2 a - 2 x 2 y b

⇔ E ( a , b ) = x 2 b 2 + 4 a x y b + 2 a x b 2 + a 2 y 2 + 2 a 2 y b + a 2 b 2

⇔ E ( a , b ) = ( a b + a x + b y ) 2 + 2 a b x y

Passo 3

Calcularemos agora o limite.

DICA: Aqui queremos encontrar algo parecido com

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) k ⋅ a | ( a , b ) | , pois, l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) k ⋅ a a 2 + b 2 = 0

ou

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) k ⋅ b | ( a , b ) | , pois, l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) k ⋅ b a 2 + b 2 = 0

Assim, temos que

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) E ( a , b ) | ( a , b ) | =

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) ( a b + a x + b y ) 2 + 2 a b x y | ( a , b ) | = 0

já que

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) x 2 b ⋅ b | ( a , b ) | = 0 ,   l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) 4 a x y ⋅ b | ( a , b ) | = 0 ,   l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) 2 a x b ⋅ b | ( a , b ) | = 0 ,   e t c . . .

⇒   l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) x 2 b 2 + 4 a x y b + 2 a x b 2 + a 2 y 2 + 2 a 2 y b + a 2 b 2 | ( a , b ) | = 0

ps.: Como (a,b) apenas tende a zero, podemos dizer “que se aproxima bastante”, mas que de fato, não zera. Por isso, podemos “dividir”, e calcularmos naturalmente o limite.

Resposta

Portanto para qualquer variação de f, temos diferenciação, e, logo, f é diferenciável em todo ( x , y ) de ℝ 2 , ou seja, f é uma função diferenciável.

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