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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1c

Prove que as funções dadas são diferenciáveis.

c) f ( x , y ) = x^2 y^2

Passo 1

Primeiramente, vemos que f admite derivadas parciais em todo RR^2 . São elas

(del f)/(del x) ( x , y ) = 2 x y^2 e (del f)/(del y) ( x , y ) = 2 x^2 y

Passo 2

Devemos agora avaliar uma pequena variação de f para o cálculo de sua derivada, se existir. Isso é feito por meio da equação seguinte, que deve ser igual a zero:

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (f ( x + a , y + b ) - f ( x , y ) - (del f)/(del x) ( x , y ) * a - (del f)/(del y) ( x , y ) * b)/(| ( a , b ) |) = 0

Daqui em diante, trataremos o numerador por E ( a , b ) , de tal modo que:

E ( a , b ) = f ( x + a , y + b ) - f ( x , y ) - (del f)/(del x) ( x , y ) * a - (del f)/(del y) ( x , y ) * b

Para todo (x,y) em RR^2 , temos

E ( a , b ) = ( x + a )^2 ( y + b )^2 - x^2 y^2 - 2 x y^2 a - 2 x^2 y b

<=> E ( a , b ) = ( x^2 + 2 a x + a^2 ) ( y^2 + 2 y b + b^2 ) - x^2 y^2 - 2 x y^2 a - 2 x^2 y b

<=> E ( a , b ) = ( x^2 y^2 + 2 x^2 y b + x^2 b^2 + 2 a x y^2 + 4 a x y b + 2 a x b^2 + a^2 y^2 + 2 a^2 y b + a^2 b^2 ) - x^2 y^2 - 2 x y^2 a - 2 x^2 y b

<=> E ( a , b ) = x^2 b^2 + 4 a x y b + 2 a x b^2 + a^2 y^2 + 2 a^2 y b + a^2 b^2

<=> E ( a , b ) = ( a b + a x + b y )^2 + 2 a b x y

Passo 3

Calcularemos agora o limite.

DICA: Aqui queremos encontrar algo parecido com

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (a)/(| ( a , b ) |) , pois, underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (a)/(sqrt(a^2 + b^2)) = 0

ou

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (b)/(| ( a , b ) |) , pois, underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (b)/(sqrt(a^2 + b^2)) = 0

Assim, temos que

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (E ( a , b ))/(| ( a , b ) |) =

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (( a b + a x + b y )^2 + 2 a b x y)/(| ( a , b ) |) = 0

já que

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) x^2 b * (b)/(| ( a , b ) |) = 0 , underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) 4 a x y * (b)/(| ( a , b ) |) = 0 , underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) 2 a x b * (b)/(| ( a , b ) |) = 0 , e t c . . .

=> underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (x^2 b^2 + 4 a x y b + 2 a x b^2 + a^2 y^2 + 2 a^2 y b + a^2 b^2)/(| ( a , b ) |) = 0

ps.: Como (a,b) apenas tende a zero, podemos dizer “que se aproxima bastante”, mas que de fato, não zera. Por isso, podemos “dividir”, e calcularmos naturalmente o limite.

Resposta

Portanto para qualquer variação de f, temos diferenciação, e, logo, f é diferenciável em todo ( x , y ) de RR^2 , ou seja, f é uma função diferenciável.

Ver Outros Exercícios desse livro

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Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f x , y = x y x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = ( 0,0 )
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f x , y = x 3 x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = ( 0,0 )
Verifique que a função dada é diferenciável.f (x , y) = arctg x y
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f x , y = e 1 x 2 + y 2 - 1 s ex 2 + y 21 0 s ex 2 + y 2 ≥ 1
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f x , y = x y 3 x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = ( 0,0 )