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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 2a

f é diferenciável em (0,0)? Justifique.

a) f ( x , y ) = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2) se ( x , y ) != ( 0,0 ) e f ( 0,0 ) = 0

Passo 1

Primeiramente, calculamos as derivadas parciais de f e, (0,0), para sabermos se é contínua nesse ponto.

(del f)/(del x) ( 0,0 ) = underset(x -> 0)(l i m) (f ( x , 0 ) - f ( 0,0 ))/(x - 0) = underset(x -> 0)(l i m) (x^2 - 0)/(x^2 + 0) * (1)/(x) = oo

(del f)/(del y) ( 0,0 ) = underset(y -> 0)(l i m) (f ( 0 , y ) - f ( 0,0 ))/(y - 0) = underset(y -> 0)(l i m) (0 - y^2)/(0 + y^2) * (1)/(y) = - oo

Como o limite encontrado é infinito, dizemos que não tem limite (porque +- oo !in RR^() ). Portanto, a função não é contínua em ( 0,0 ) e, logo, não diferenciável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se z = f x , y ,x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , onde f é uma função diferenciável, expressar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y como funções de r e θ .
Admita a seguinte propriedade: se f x , y for contínua no retângulo a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , então, para todo ϵ0 , existe δ0 , tal que, quaisquer que sejam x , y e s , t no retângulo, x , y - x , tδ ⇒
8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em 0,0 f x , y = x y x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0 = 0 → x , y = 0,0
8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em 0,0 b. f x , y = x 1 3 cos ⁡ y
8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em 0,0 c. f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0 = 0 → x , y = 0,0