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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1f

Prove que as funções dadas são diferenciáveis.

f (x , y) = x^2 + y^2

Passo 1

O exercício pede para provarmos que a função f (x , y) = x^2 + y^2 é diferenciável. Para isso, calculamos primeiro as derivadas parciais:

(del f)/(del x) = 2 x e (del f)/(del y) = 2 y

Daí, vamos calcular o “limitão” para um ponto (x , y) genérico:

L = underset((h , k) -> (0 , 0))(lim) (f (x + h , y + k) - f (x , y) - (del f)/(del x) h - (del f)/(del y) k)/(sqrt(h^2 + k^2))

Se esse limite existir e for nulo, a função será diferenciável em (x , y) . Esse é o método mais geral para testar se uma função de duas variáveis é derivável ou não. Nossa ideia aqui é calcular esse limite para um ponto genérico (x , y) e ver se ele dá zero.

Passo 2

Nosso objetivo é calcular o limite, mas antes disso, vamos massagear um pouco a expressão:

f (x + h , y + k) - f (x , y) = (x + h)^2 + (y + k)^2 - x^2 - y^2

f (x + h , y + k) - f (x , y) = 2 x h + h^2 + 2 y k + k^2

Mas como

(del f)/(del x) = 2 x e (del f)/(del y) = 2 y ,

temos que

f (x + h , y + k) - f (x , y) - (del f)/(del x) h - (del f)/(del y) k = 2 x h + h^2 + 2 y k + k^2 - 2 x h - 2 y k = h^2 + k^2

Assim, o limitão pode ser escrito como

L = underset((h , k) -> (0 , 0))(lim) (h^2 + k^2)/(sqrt(h^2 + k^2)) = underset((h , k) -> (0 , 0))(lim) (h^2)/(sqrt(h^2 + k^2)) + underset((h , k) -> (0 , 0))(lim) (k^2)/(sqrt(h^2 + k^2))

Passo 3

Vamos calcular cada um desses limites separadamente usando o teorema do confronto:

h^2 <= h^2 + k^2 => - sqrt(h^2 + k^2) <= h <= sqrt(h^2 + k^2)

Assim,

- 1 <= (h)/(sqrt(h^2 + k^2)) <= 1

Multiplicando todo mundo por h :

- h <= (h^2)/(sqrt(h^2 + k^2)) <= h

Tomando o limite dos termos da ponta da inequação:

underset((h , k) -> (0,0))(lim) h = underset((h , k) -> (0,0))(lim) - h = 0

Assim, temos o sanduíche:

0 <= underset((h , k) -> (0 , 0))(lim) (h^2)/(sqrt(h^2 + k^2)) <= 0

Pelo teorema do confronto:

underset((h , k) -> (0 , 0))(lim) (h^2)/(sqrt(h^2 + k^2)) = 0

Trocando h por k , achamos

underset((h , k) -> (0 , 0))(lim) (k^2)/(sqrt(h^2 + k^2)) = 0

Com isso,

L = underset((h , k) -> (0 , 0))(lim) (h^2)/(sqrt(h^2 + k^2)) + underset((h , k) -> (0 , 0))(lim) (k^2)/(sqrt(h^2 + k^2)) = 0 + 0 = 0

Como o “limitão” deu zero, vemos que f é diferenciável em (x , y) . Como esse ponto é totalmente genérico e o limite não depende dele, podemos afirmar que f é diferenciável para qualquer ponto no seu domínio.

Resposta

É diferenciável.

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