Suponha x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) sejam dadas implicitamente pelo sistema

u = x + y v = y x ,         x ≠ 0

Mostre que

∂ x ∂ u   1 + y x = 1

Passo 1

A questão fornece duas funções x e y de duas variáveis implicitamente por meio de um sistema. É pedido para mostrar que

∂ x ∂ u   1 + y x = 1

Para isso, vamos tentar primeiro escrever x y como função de u e v . Da segunda equação, temos que

y = v x

Substituindo isso na primeira:

u = x + v x ⇒ x = u 1 + v

Assim,

y = u v 1 + v

Passo 2

Agora vamos calcular a derivada de x com relação a u :

∂ x ∂ u = 1 1 + v

Portanto,

∂ x ∂ u   1 + v = 1

Mas lembre-se que v = y / x . Assim, temos que

∂ x ∂ u   1 + y x = 1

Resposta

Demonstração.

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