Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 6
A função diferenciável é dada implicitamente pela equação , onde é suposta diferenciável e . Verifique que
Passo 1
O problema fornece uma função dada implicitamente pela equação e pede para mostramos a relação
Para isso, vamos partir da equação
e tomar as derivadas com relação a e usando e .
Passo 2
Derivando a equação com relação a :
Assim, temos que
Analogamente, derivando com relação a :
Assim,
Passo 3
Por fim, vamos calcular a expressão:
Substituindo as expressões achadas no último passo:
Portanto, temos que
Resposta
Demonstração.
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17. Seja g dada por g (x , y) = (x^2 + y^2) f (u , v) , onde u = 2 x e v = x + 2 y . Verifique que(del g)/(del x) = 2 x f (u , v) + (x^2 + y^2) [2 (del f)/(del u) + (del f)/(del v)]
21. Seja g t = f 3 t 2 ,t 3 ,e 2 t ; suponha ∂ f ∂ z 0 , 0,1 = 4 a) Expresse g ' t em termos das derivadas parciais de f . b) Calcule g ' 0 .
Calcule d z d t pelos dois processos descritos no exemplo 2 .c) z = ln 1 + x 2 + y 2 , x = s e n ( 3 t ) , y = c o s ( 3 t )
23. Suponha que, para todo (x , y) , f (x , y , x^2 + y^2) = 0 . Mostre que (del f)/(del x) (1,1 , 2) = (del f)/(del y) ( 1,1 , 2 )
11. Seja z = f ( u - v , v - u ) . Verifique que(del z)/(del u) + (del z)/(del v) = 0