A função diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela equação f(x/y, z) = 0 , onde f(u, v) é suposta diferenciável e ∂f/∂v(u, v) ≠ 0 . Verifique que

x * (∂z/∂x) + y * (∂z/∂y) = 0

Passo 1

O problema fornece uma função z = z x , y dada implicitamente pela equação f x y , z = 0 e pede para mostramos a relação

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = 0

Para isso, vamos partir da equação

f x y , z = 0

e tomar as derivadas com relação a x e y usando u = x / y e v = z .

Passo 2

Derivando a equação com relação a x :

∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x = 0

Assim, temos que

1 y ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ z ∂ x = 0 ⇒ ∂ z ∂ x = - 1 y ⋅ ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v

Analogamente, derivando com relação a y :

∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y = 0

Assim,

- x y 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ z ∂ y = 0 ⇒ ∂ z ∂ y = x y 2 ⋅ ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v

Passo 3

Por fim, vamos calcular a expressão:

I = x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y

Substituindo as expressões achadas no último passo:

I = - x y ⋅ ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v + x y ⋅ ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v = 0

Portanto, temos que

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = 0

Resposta

Demonstração.

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