Use uma série de potência para aproximar a integral definida com seis casas decimais.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

∫ 0 1 / 2 arctg ⁡ ( x / 2 ) d x

Dessa forma, podemos reescrever o termo dentro da integral com o auxílio do exemplo 7 dessa mesma seção, substituindo x 2 por x , com isso, temos:

∫ a r c t g x 2   d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 2 n + 1 2 n + 1   d x

Passo 2

Dessa forma, podemos reescrever a integral como:

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 2 2 n + 1 2 n + 1  

Fazendo x 2 2 n + 1 = x 2 n + 1 2 2 n +  

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) d x

E, dessa forma:

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 2 n + 1 2 n + 1 d x

Aplicando o teorema da integral, que diz que o integral de um somatório é igual o somatório de um integral temos:

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 2 n + 1 2 n + 1 d x =   ∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n x 2 n + 1 2 2 n + 1 2 n + 1 d x

= C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 )

Como para x =   0 . a r c t g x 2 = 0

Temos que C = 0 .

Passo 3

Agora, resolvendo a integral definida, temos:

I = ∫ 0 1 2 a r c t g x 2 d x = x 2 2 ( 1 ) ( 2 ) - x 4 2 3 3 4 + x 6 2 5 5 6 - x 8 2 7 7 8 + x 10 2 9 9 10 - … 0 1 2

= 1 2 3 ( 1 ) ( 2 ) - 1 2 7 3 4 + 1 2 11 5 6 - 1 2 15 7 8 + 1 2 19 9 10 - …

Podemos notar que essa é uma série alternada. Vamos recoradar que o teorema de estimativa da soma de séries alternadas diz que o erro será menor que o primeiro termo negligenciado.

Então, se usarmos os quatro primeiros termos, o erro será, no máximo de 1 / ( 2 19 . 90 ) ≅ 2,1.10 - 8 , o que é menor do que a precisão pedida no enunciado, sendo assim:

I = 1 16 - 1 1536 + 1 61440 - 1 1835008 ≅ 0,061865

Resposta

I ≅ 0,061865

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