Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 30

Use uma série de potência para aproximar a integral definida com seis casas decimais.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

∫ 0 1 / 2 arctg ⁡ ( x / 2 ) d x

Dessa forma, podemos reescrever o termo dentro da integral com o auxílio do exemplo 7 dessa mesma seção, substituindo x 2 por x , com isso, temos:

∫ a r c t g x 2   d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 2 n + 1 2 n + 1   d x

Passo 2

Dessa forma, podemos reescrever a integral como:

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 2 2 n + 1 2 n + 1  

Fazendo x 2 2 n + 1 = x 2 n + 1 2 2 n +  

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) d x

E, dessa forma:

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 2 n + 1 2 n + 1 d x

Aplicando o teorema da integral, que diz que o integral de um somatório é igual o somatório de um integral temos:

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 2 n + 1 2 n + 1 d x =   ∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n x 2 n + 1 2 2 n + 1 2 n + 1 d x

= C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 )

Como para x =   0 . a r c t g x 2 = 0

Temos que C = 0 .

Passo 3

Agora, resolvendo a integral definida, temos:

I = ∫ 0 1 2 a r c t g x 2 d x = x 2 2 ( 1 ) ( 2 ) - x 4 2 3 3 4 + x 6 2 5 5 6 - x 8 2 7 7 8 + x 10 2 9 9 10 - … 0 1 2

= 1 2 3 ( 1 ) ( 2 ) - 1 2 7 3 4 + 1 2 11 5 6 - 1 2 15 7 8 + 1 2 19 9 10 - …

Podemos notar que essa é uma série alternada. Vamos recoradar que o teorema de estimativa da soma de séries alternadas diz que o erro será menor que o primeiro termo negligenciado.

Então, se usarmos os quatro primeiros termos, o erro será, no máximo de 1 / ( 2 19 . 90 ) ≅ 2,1.10 - 8 , o que é menor do que a precisão pedida no enunciado, sendo assim:

I = 1 16 - 1 1536 + 1 61440 - 1 1835008 ≅ 0,061865

Resposta

I ≅ 0,061865

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência? ∫ t g - 1 ( x 2 ) d x
(a) Começando com a série geométrica ∑ n = 0 ∞ x n , encontre a soma da série ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 x1 (b) Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.(i) ∑ n = 1 ∞ n x n ,x1 (ii) ∑ n = 1 ∞ n 2 n (c
A função de Bessel de ordem 1 é definida por J 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 Mostre que J 1 satisfaz a equação diferencial x 2 J 1 ' ' x + x J 1 ' x + x 2 - 1 J 1 x = 0 Mostre
(a) Mostre que J 0 (a função de Bessel de ordem 0 dada no Exemplo 4) satisfaz a equação diferencial x 2 J 0 ' ' x + x J 0 ' x + x 2 J 0 x = 0 (b) Calcule ∫ 0 1 J 0 ( x ) d x com precisão de três casas
Use o resultado do Exemplo 7 para calcular arctg 0,2 com precisão de cinco casas decimais.