5. Considere a função z = ∂f/∂x | x, sen 3x. Verifique que

dz/dx = ∂²f/∂x² (x, sen(3x)) + 3 cos(3x) ∂²f/∂y∂x (x, sen(3x)) .

Passo 1

Como z = (del f)/(del x) (x , y) , onde y = s e n 3 x )

Vamos calcular a derivada usando a Regra da Cadeia

(d z)/(d x) = (del)/(del x) ((del f)/(del x)) (d x)/(d x) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) (d y)/(d x)

Como y = s e n 3 x , então (d v)/(d x) = 3 cos 3 x

Substituindo (d v)/(d x) = 3 cos 3 x

(d z)/(d x) = (del)/(del u) ((del f)/(del u)) ( 1 ) + (del)/(del v) ((del f)/(del u)) ( 3 cos 3 x )

Arrumando, ficamos com

(del z)/(del x) = (del^2 f)/(del x^2) + 3 cos 3 x (del^2 f)/(del y del x)

Resposta

(del z)/(del x) = (del^2 f)/(del x^2) + 3 cos 3 x (del^2 f)/(del y del x)

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