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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 5

5. Considere a função z = (del f)/(del x) (x , s e n 3 x) . Verifique que

(d z)/(d x) = (del^2 f)/(del x^2) (x , s e n 3 x) + 3 cos 3 x (del^2 f)/(del y del x) (x , s e n 3 x) .

Passo 1

Como z = (del f)/(del x) (x , y) , onde y = s e n 3 x )

Vamos calcular a derivada usando a Regra da Cadeia

(d z)/(d x) = (del)/(del x) ((del f)/(del x)) (d x)/(d x) + (del)/(del y) ((del f)/(del y)) (d y)/(d x)

Como y = s e n 3 x , então (d v)/(d x) = 3 cos 3 x

Substituindo (d v)/(d x) = 3 cos 3 x

(d z)/(d x) = (del)/(del u) ((del f)/(del u)) ( 1 ) + (del)/(del v) ((del f)/(del u)) ( 3 cos 3 x )

Arrumando, ficamos com

(del z)/(del x) = (del^2 f)/(del x^2) + 3 cos 3 x (del^2 f)/(del y del x)

Resposta

(del z)/(del x) = (del^2 f)/(del x^2) + 3 cos 3 x (del^2 f)/(del y del x)

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Encontre ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v quando u = ln ⁡ 2 , v = 1 se z = 5 tg - 1 ⁡ x e x = e u + ln ⁡ v .
Encontre ∂ w / ∂ r quando r = 1 , s = - 1 se w = x + y + z 2 , x = r - s , y = cos ⁡ r + s , z = sen ⁡ r + s .
Encontre ∂ z / ∂ u e ∂ z / ∂ v quando u = 1 , v = - 2 se z = ln ⁡ q e q = v + 3 tg - 1 ⁡ u .