Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 21

Mínima distância à origem Encontre os pontos na superfí-

cie z2 = xy + 4 mais próximos à origem

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, nosso objetivo é encontrar os pontos sobre a superficie mais próximo da origem. Fique atento aos passos e vamos lá!

Passo 2

Seja o quadrado da distância até a origem. Seu gradiente será então: .

Passo 3

E o gradiente da função é:

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos:

Separando as componentes, acharemos:

O que nos permite ter então ou .Veja o Caso 1: Se , então

Assim:

Caso 2: Se :

Passo 4

Observe que encontraremos:

Dessa maneira, podemos ter:

Veja, portanto, que temos quatro pontos possíveis: , entretanto, os pontos estão mais próximos da origem do que os outros dois.

Resposta

Resposta nos passos.

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12. a) A função f x , y , z = l n x + ln ⁡ y + 3 ln ⁡ z Tem um máximo na porção da superfície esférica de equação x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2 Onde x0 ,y0,z0 e a é uma constante positiva. Encontre-ob) Usan

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