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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 19

Mínima distância à origem Encontre a mínima distância da

superfície x2 – y2 – z2 = 1 à origem.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, encontraremos a distância mínima da superfície x 2 - y 2 - z 2 = 1 até a origem.Acompanhe a resolução!

Passo 2

Seja a função f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 o quadrado da distância em relação à origem.Calcularemos, então, os gradientes das funções para aplicarmos o método dos multiplicadores de Lagrange, observe:

∇ f = 2 x i + 2 y j + 2 z k ∇ g = 2 x i - 2 y j - 2 z k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange temos:

∇ f = λ ∇ g 2 x i + 2 y j + 2 z k = λ ( 2 x i - 2 y j - 2 z k )

Agora, separando as componentes temos:

2 x = 2 x λ 2 y = - 2 y λ 2 z = - 2 z λ

Passo 3

Sendo assim, temos que x = 0 ou λ = 1 .Caso 1: Se λ = 1 , então: 2 y = - 2 y , então y = 0 . 2 z = - 2 z , então z = 0 .Caso 2: Se x = 0 x 2 - 1 = 0,0 que demonstra que não há solução possivel.Logo, os pontos sobre o círculo unitário x 2 + y 2 = 1 são os pontos na superfície x 2 + y 2 - z 2 = 1 mais próximos da origem.

Resposta

Resposta nos passos.

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