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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.1 - Ex. 66

Faça uma correspondência entre a função (a) e seu gráfico (indicado por A-F na página 828), (b) e seus mapas de contorno (indicado por I-VI). Justifique sua escolha.

z = x - y 1 + x 2 + y 2

Passo 1

Olá, meu bom e velho amigo. Vamos resolver essa atividade, irei te ajudar a entender o que está acontecendo aqui e como prosseguir.

Temos então a função:

z = x - y 1 + x 2 + y 2

E queremos relacionar qual o gráfico dessa função e qual sua curva de nível, dentre as várias opções que nos foram dadas.

Para encontrarmos o gráfico da função, não tem muitos segredos, vamos ter que analisar alguns pontos e comportamentos importantes da função. Iremos analisar por exemplo o que acontece quando x ou y tende ao infinito.

Podemos analisar também o que acontece na origem, o que acontece quando x > y , x < y ou x = y . Enfim, deveremos analisar como se comporta a nossa função e ir comparando com os gráficos que temos ali a fim de excluir alguns e selecionar outros até podermos fazer a escolha.

Passo 2

(a) Para ambas as variáveis, temos que o grau no denominador é maior que no numerador, então se pensarmos quando uma das variáveis → ± ∞ teremos que z → 0 .

Como o denominador é sempre positivo, vamos olhar para o numerador.

No numerador x - y temos que na reta y = x a função zera, quando vamos para x > y a função aumenta e vai ter um pico até que uma das variáveis seja suficientemente grande ou pequena, para que a função diminua para 0 .

Quando x < y teremos um vale pico até que uma das variáveis seja suficientemente grande ou pequena, para que a função diminua para 0 .

O gráfico que representa esse comportamento é o D.

Passo 3

(b) A curva de nível da nossa função:

z = x - y 1 + x 2 + y 2

São da seguinte forma:

c = x - y 1 + x 2 + y 2

Em que c é uma constante:

x 2 + y 2 + 1 = x - y c

Substituindo 1 c por uma constante 2 k :

x 2 + y 1 + 1 = 2 k x - 2 k y

Passando todo mundo para o mesmo lado:

x 2 + y 2 - 2 k x + 2 k y + 1 = 0

x 2 - 2 k x + y 2 + 2 k y + 1 = 0

Completando os quadrados:

x 2 - 2 k x + k 2 - k 2 + y 2 + 2 k y + k 2 - k 2 + 1 = 0

x 2 - 2 k x + k 2 + y 2 + 2 k y + k 2 + 1 - 2 k 2 = 0

Colocando em forma de produtos notáveis:

x - k 2 + y + k 2 = 2 k 2 - 1

Note que essa equação representa um círculo com centro em k ,   - k . Isso significa que os centros dos círculos estão na linha  x = - y .

Analisando o gráfico D e as nossas analises matemáticas, se fizéssemos cortes na função a uma altura constante, as curvas que apareceriam seriam as do número V.

Resposta

  1. D
  2. V
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