Faça um esboço de um mapa de contorno e um gráfico da função e compare-os.

f(x, y) = x^2 + 9 * y^2

Passo 1

Falaaaaaa, meu parceiro. Vamos resolver essa atividade marota aqui.

Veja bem, a gente quer desenhar o gráfico e o mapa do contorno da função:

f x , y = x 2 + 9 y 2

Para se desenhar o mapa de contorno, precisa-se chegar à função das curvas de nível. Basta fazer f x , y = k e depois ir variando k (dando valores) para representar algumas curvas de nível no mapa.

Para se desenhar o gráfico da função, basta fazer z = f ( x , y ) . Trata-se de uma superfície em R 3 .

Parece tudo muito simples, mas a gente precisa pensar um pouco. A curva de nível é uma planificação da função, quando fazemos a curva de nível, estamos visualizando a nossa função de cima, ela está ‘amassada’ no plano x O y .

É interessante então, em muitos casos analisarmos se a equação da nossa função não é uma equação conhecida, uma elipse, uma circunferência, pois aí já saberemos mais ou menos como desenhar.

Mas mesmo que não seja, é importante que encontremos os pontos de intersecção da função com os eixos x O y , fazemos isso escolhendo um valor para k e zerando uma variável, e depois a outra.

Passo 2

Para desenhar o mapa de contorno:

f x , y = x 2 + 9 y 2 = k

x 2 k + y 2 k 9 = 1 (Para k ≠ 0 )

Quando k = 0 , x , y = ( 0,0 ) .

Essa é a equação da elipse com eixos:

k   e k 3

Variando k , chega-se ao seguinte mapa de contorno:

Veja que para cada k , se fizermos por exemplo:

x 2 + 9 y 2 = 1

0 + 9 y 2 = 1

y = ± 1 9

E para x :

x 2 + 0 = 1

x = ± 1

Conseguiremos encontrar os pontos de intersecção da curva com o eixo.

Passo 3

Para desenhar o gráfico da função:

f x , y = x 2 + 9 y 2 = z

Veja que para diferentes valores de z temos a figura um paraboloide elíptico como mostrado na figura:

É interessante perceber que o mapa de contorno é a projeção da função z = f ( x , y ) no plano x y .

O solido em x O y O z é uma extensão da planificação que encontramos em sua curva de nível, unindo todas as curvas, temos um solido.

Resposta

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