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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 90

Mostrar que a função y = (1)/(1 + x + ln x) satisfaz a equação x y^' = y (y l n x - 1) .

Passo 1

Para verificarmos isso, vamos fazer a derivação implícita da função. Vamos derivar em relação à variável x .

y^' = - (1)/((1 + x + ln x)^2) * ( 0 + 1 + (1)/(x) )

y^' = - (( 1 + (1)/(x) ))/((1 + x + ln x)^2)

Passo 2

Obtido o valor de y ' , substituímos ele na expressão da equação diferencial do enunciado, que queremos comprovar se será satisfeita ou não pela função. Teremos:

x * [ - ((1 + (1)/(x)))/((1 + x + ln x)^2) ] = y (y l n x - 1)

(- ( x + 1 ))/((1 + x + ln x)^2) = y^2 ln x - y

Agora, substituímos y pelo seu valor da função do enunciado:

(- ( x + 1 ))/((1 + x + ln x)^2) = y^2 ln x - (1)/((1 + x + ln x))

Rearrumamos essa expressão toda e teremos:

y^2 ln x = (1)/((1 + x + ln x)) - (( x + 1 ))/((1 + x + ln x)^2)

Passo 3

Continuando, tiramos o MMC dos denominadores pra juntarmos as duas frações:

y^2 ln x = ((1 + x + ln x) - ( x + 1 ))/((1 + x + ln x)^2)

Cortamos o que for possível pra resultar em:

y^2 ln x = (ln x)/((1 + x + ln x)^2)

Simplificamos:

y^2 = (1)/((1 + x + ln x)^2)

Tiramos a raiz dos dois lados:

:. y = (1)/((1 + x + ln x))

Chegamos exatamente à nossa função original. Então, concluímos que a equação diferencial apresentada pelo enunciado é satisfaz (ou seja, é solução) a função dada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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