Passo 1

Dado as informações do conjunto A , tem-se que ele representa a região limitada pelas parábolas mostrado no seguinte esboço:

Neste caso, fazendo a substituição de variáveis indicada no enunciado, tal que:

u = x

v = y - x 2

Tem-se que:

Quando y ≥ 1 + x 2 → v ≥ 1

Quando y ≤ 2 + x 2 → v ≤ 2

Quando x ≥ 0 → u ≥ 0

Quando y ≥ x + x 2 → v ≥ x ∴ u ≤ v

Passo 2

Com isso, conclui-se que o novo conjunto formado pelas variáveis novas u e v é representado por:

u ,   v = φ x ,   y = A n o v o

A n o v o = φ A = u ,   v ∈ R 2 | 1 ≤ v ≤ 2 ,   0 ≤ u ≤ v

Ou:

φ A = u ,   v ∈ R 2 | 1 ≤ v ≤ 2 , v ≥ u   e   u ≥ 0

Que é igual ao conjunto B . Logo:

B = A n o v o = φ A

Passo 3

Para calcular a área de A , pretende-se determinar o resultado da transformação:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ u ,   v d u d v

Então:

∂ x ,   y ∂ u ,   v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 1 0 2 u 1 = 1

∂ x ,   y ∂ u ,   v = 1

Portanto:

d x d y = d u d v

Passo 4

Visto que d x d y = d u d v , então ao substituir a variável no cálculo da área pela integral dupla:

A A = ∫ ∫ A d x d y = ∫ 1 2 ∫ 0 v d u d v

Tal que:

∫ 1 2 ∫ 0 v d u d v = ∫ ∫ B d u d v = Á r e a   d e   B

Portanto:

A A = A B

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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