Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 4b

Identificar as afirmações verdadeiras:

b) A união de bolas abertas é um conjunto aberto.

Passo 1

Vamos começar vendo qual é a definição de bola aberta. Ela é uma figura que tem por equação:

Ou seja, é a parte interna de uma circunferência, sem contar a borda dela (inclusive por isso ela é um conjunto aberto). Enquanto isso, um conjunto aberto é um conjunto que, além de não ter a borda marcadinha, ele não tem nenhum ponto isolado, fica todo mundo juntinho ali numa região bem definida.

Passo 2

Então o que a gente tem que analisar é se, juntando duas bolas abertas, a gente forma um conjunto aberto. Vamos tentar resolver graficamente?

Se a gente pegar duas bolas abertas, de forma que uma esteja contida na outra, o conjunto da união delas pode ser representado só pela bola de fora, então nesse caso a união é sim um conjunto aberto, já que tá todo mundo ali naquela região bonitinha.

Se a gente considerar duas bolas, de forma que uma não esteja totalmente contida na outra, a coisa muda: agora, o conjunto união delas deixou de ter até mesmo o formato de uma circunferência, então deixou de ser uma bola aberta. Mas isso não impede que seja um conjunto aberto! Como a gente pode ver, ao juntar as duas, continuamos sem ter uma bordinha no conjunto, e todos os pontos estão contidos nessa região das duas circunferências. Por isso, o conjunto é aberto.