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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 1b

Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em R 2 ou R 3 , determinando, em caso positivo, o centro e o raio.

x 2 + y 2 + z 2 + 6 z < 0

Passo 1

Vamos começar lembrando o que é essa tal “bola aberta”. É assim: sabe a circunferência? Aquela lá com essa equação:

x - x c 2 + y - y c 2 = r

Essa equação representa uma circunferência de centro no ponto x c ,   y c e raio r . Tá bom, mas o que é bola aberta? É tipo uma circunferência, mas em vez de a gente pegar a bordinha dela, a gente vai pegar tudo que tá na parte de dentro dela, sacou? Então a equação dela vai ser assim:

x - x c 2 + y - y c 2 < r

Ou então

x - x c 2 + y - y c 2 < r 2

Pegamos todos os pontos que têm uma distância até o centro da bola menor que o raio da circunferência, saca? E isso serve pro caso de termos coisas com z também, em que estaríamos tratando da parte interna de uma esfera, tipo assim:

x - x c 2 + y - y c 2 + z - z c 2 < r 2

Bom, então bora ver se a equação aqui serve nessa definição, seja pro R 2 ou pro R 3 .

Passo 2

A equação da esfera da questão é:

x 2 + y 2 + z 2 + 6 z < 0

Beleza, vamos tentar deixar no formato do passo 1 . Completando o quadrado pro z :

x 2 + y 2 + z 2 + 6 z + 9 < 9

x 2 + y 2 + z + 3 2 < 9

Assim,

( x - 0 ) 2 + y - 0 2 + z + 3 2 < 3 2

Dessa equação, a gente conclui que esse conjunto é sim uma bola aberta, com centro no ponto ( 0 ,   0 ,   - 3 ) e raio igual a 3 .

Resposta

Bola aberta no R 3 : centro em ( 0 ,   0 ,   - 3 ) e raio 3 .

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Seja S a superficie definida por z = 2 + x 2 + y 2 .Identifique as interseções de S com os planos x z e y z .
Dada a função f x , y = 1 x 2 + y 2 , pede-se:A equação e o esboço da curva de nivel que contém o ponto ( 0,2 ) .
Dada a função f x , y = 1 x 2 + y 2 , pede-se:As equações das curvas de nível z = 1 4 , z = 4 e z = 9 .
Considere a superficie S , união de S 1 e S 2 , onde S 1 tem equação x 2 + y 2 = 4 com 0 ≤ z ≤ 2 , e S 2 é o gráfico da função z = x 2 + y 2 definida no conjunto D , onde D = x , y ∈ R 2 4 ≤ x 2 + y 2
10- Considerando a função z = f x ,y = 7 - x 2 + y 2 ,0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 , 25 - x 2 - y 2 ,16 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25 b)Identifique a curva de nível que contém o pontoP 0 = ( 1 ,3 ) .