6. Seja f x , y = 10 - x - y 2

a) Represente o domínio de f no plano x y e determine a imagem de f .

Passo 1

a) Antes de fazer o esboço no plano xy, vamos ver quais são as restrições sobre a função. Como a função é definida por um radical, temos que seu argumento deve ser não negativo, isto é:

10 - x - y 2 ≥ 0 ↔ 10 - x ≥ y 2 ↔ 10 - x ≥ y

Desta forma, o domínio de f é o conjunto 10 - x ≥ y . Para representá-lo, partimos do gráfico de y = √ x . Em seguida fazemos uma reflexão em torno do eixo y , que faz com que a expressão passe a ser y = - x , onde agora x ≤ 0 ao invés de x ≥ 0 . Em seguida fazemos uma translação de 10 unidades do grafico no eixo x , dai a expressão se torna y = 10 - x e o domínio passa a ser x ≤ 10 . Os processos estão indicados na figura a seguir:

Reflexão:

Translação:

Como temos que y ≤ 10 - x e não y = 10 - x , devemos tomar a parte abaixo do gráfico obtido, desta forma:

Agora vamos determinar a imagem de f . Como padrão, utilizamos: f x , y = z = 10 - x - y 2

Dito isso, temos que o menor valor que z assume é 0 , pois a função é definida por um radical, ou seja, é sempre maior que zero. Daí basta tomar x = 10   e   y = 0 ou x = 0   e   y = √ 10 . Temos também que z não assume um valor máximo e para observar isso basta tomar y = 0 e tomar x → - ∞ , daí tem-se que z → ∞ . Logo I m f = [ 0 , + ∞ [ .

Resposta

Domínio de f :

I m f = [ 0 , + ∞ [

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